Otimização
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Otimização
por p4in 10 Sáb 06 Abr 2024, 11:54
Um retângulo tem 1000m2 de área. Expresse o perímetro desse retângulo como uma
função do comprimento de um de seus lados. Qual o domínio dessa função? Um lado
do retângulo pode medir 5500m? Quais as dimensões do retângulo de menor períımetro
dentre os que tem uma área de 1000m2?
Até então eu fiz os seguintes passos:
x: Base
h(x): Altura
x * h(x) = 100
h(x) = 1000/x
Perímetro: P(x) = 2 * h(x) + 2 * x
P(x) = (2000 + 2* x^2) / x
Eu sei que por ser dimensões: x > 0
Pórem, há alguma outra restrição que não estou me atentando?
A partir daí já não saberia se devo fazer o estudo do sinal da derivada ou achar o mínimo direto a partir da função do segundo grau.
função do comprimento de um de seus lados. Qual o domínio dessa função? Um lado
do retângulo pode medir 5500m? Quais as dimensões do retângulo de menor períımetro
dentre os que tem uma área de 1000m2?
Até então eu fiz os seguintes passos:
x: Base
h(x): Altura
x * h(x) = 100
h(x) = 1000/x
Perímetro: P(x) = 2 * h(x) + 2 * x
P(x) = (2000 + 2* x^2) / x
Eu sei que por ser dimensões: x > 0
Pórem, há alguma outra restrição que não estou me atentando?
A partir daí já não saberia se devo fazer o estudo do sinal da derivada ou achar o mínimo direto a partir da função do segundo grau.
Última edição por p4in 10 em Dom 07 Abr 2024, 11:05, editado 1 vez(es)
p4in 10- Iniciante
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Re: Otimização
por Giovana Martins Sáb 06 Abr 2024, 12:28
Sejam x e y os lados do retângulo. Assim, A(x,y) = xy = 1000 m² (i).
O perímetro do retângulo é dado por P(x,y) = 2(x + y). De (i) e (ii):
[latex]\\\mathrm{P(x,y)=2(x+y)\ \therefore\ P(x)=2\left ( x+\frac{1000}{x} \right )}[/latex]
De P(x), tem-se que D(P) = {x ∈ ℝ | x > 0}.
Um dos lados pode ser 5500 m sem problemas. Para x = 5500 m, por exemplo, de (i) tem-se que y = 2/11 m.
No caso, x e y devem ser maiores que zero. Esta é a condição de x e y.
Agora, analisando os retângulo de menor perímetro, pela Desigualdade das Médias:
[latex]\\\mathrm{M_A\geq M_G\to \frac{x+\frac{1000}{x}}{2}\geq \sqrt{x\cdot \frac{1000}{x}}\to \frac{x+1000}{x}\geq 20\sqrt{10}}\\\\ \mathrm{Assim, o\ menor\ perimetro\ ocorre\ para\ x+\frac{1000}{x}=20\sqrt{10}}\\\\ \mathrm{Da\ igualdade\ x=10\sqrt{10}\ m\ \therefore\ y=10\sqrt{10}\ m}\\\\ \mathrm{Tal\ que\ o\ menor\ perimetro\ \acute{e}\ dado\ por:P=40\sqrt{10}\ m}[/latex]
Por derivadas:
[latex]\\\mathrm{P(x)=2x+\frac{2000}{x} \ \therefore\ \frac{dP(x)}{dx}=\frac{d}{dx}\left ( 2x+\frac{2000}{x} \right )=2-\frac{2000}{x^2}}\\\\ \mathrm{\frac{dP(x)}{dx}=0\ \therefore\ x=\left\{\begin{matrix} \mathrm{-10\sqrt{10}\ (n\tilde{a}o\ conv\acute{e}m)}\\ \mathrm{10\sqrt{10}} \end{matrix}\right.}\\\\ \mathrm{Pelo\ crit\acute{e}rio\ da\ primeira\ derivada:}\\\\ \mathrm{\left [ \frac{dP(x)}{dx} \right ]<0\ a\ esquerda\ de\ x=10\sqrt{10}}\\\\ \mathrm{\left [ \frac{dP(x)}{dx} \right ]>0\ a\ direita\ de\ x=10\sqrt{10}}\\\\ \mathrm{Logo,x=10\sqrt{10}\ m\ \acute{e}\ ponto\ de\ minimo}[/latex]
Assim, sendo x = 10√10 m o ponto de mínimo, tem-se y = 10√10 m.
Giovana Martins- Grande Mestre
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Localização : São Paulo
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