Otimização

por PedroCunha 22/6/2015, 5:35 pm

Olá, amigos.

Do ponto A situado numa das margens do rio, de 100 metros de largura, deve-se levar energia elétrica ao ponto C situado à 1000 metros do ponto A na outra margem do rio. O fio a ser utilizado custa na água R$ 5,00 o metro, e o que será utilizado fora da água, R$ 3,00 o metro. Onde deverá estar localizado o ponto B, na figura abaixo para que o gasto com os fios seja o menor possível? (Suponha as margens retilíneas e paralelas.)

Otimização 1oafdi

a) Determine a função a ser otimizada.

b) Otimize a função encontrada no item anterior.

Não possuo gabarito.

Grato pela atenção.

Att.,
Pedro

por **Euclides** 22/6/2015, 6:10 pm

escreva a função na variável x e estude o seu mínimo. Se não bastar, retorne.

por PedroCunha 22/6/2015, 6:29 pm

Olá, Euclides.

A função preço será:

\\ 5L_1 + 3L_2 = 5\sqrt{100^2 + x^2} + 3000 - 3x .

cujo domínio são os reais (porém aqui devemos notar que x é não negativo).

Sua derivada é:

\\ 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{100^2+x^2} \cdot 2x - 3 .

Igualando a derivada a 0, encontramos \\ x = 75 .

Como comprovo agora que f(75) é, de fato, o mínimo absoluto?

Obrigado pela ajuda.

Abraços,
Pedro

por **Euclides** 22/6/2015, 6:52 pm

Faça o teste do sinal da derivada segunda. Se a derivada segunda no ponto for positiva, trata-se de um mínimo.

por **Elcioschin** 22/6/2015, 6:58 pm

Pedro

A derivada é sempre o valor numérico do coeficiente angular da reta tangente à função, em qualquer ponto dela.

Se o coeficiente angular (a derivada) for nulo, significa que a reta é paralela ao eixo x.

Sendo paralela ao eixo x, o ponto de tangência ou é um ponto de máximo ou de mínimo da função.

Para saber se é máximo ou mínimo basta calcular a derivada 2ª. Se for negativa, no ponto, é valor máximo e se for positiva o valor é mínimo

por PedroCunha 22/6/2015, 7:28 pm

Obrigado pelas explicações. Mas e se a segunda derivada for nula? E se o ponto crítico não for um extremo? Como posso verificar isso?

por **Euclides** 22/6/2015, 7:37 pm

Se a derivada segunda não for positiva nem negativa, não será um máximo ou mínimo.

por **Elcioschin** 22/6/2015, 8:01 pm

A derivada 2ª só será nula quando y = ax + b ---> y' = a ---> y " = 0

A reta y = ax + b NÃO tem valor máximo ou mínimo real

Se a função for do 2º grau, sempre terá um valor máximo ou mínimo, no vértice