AMAN- Função logarítmica

por ryanprep01 Qui 28 Mar 2024, 21:04

Sendo [latex]y=e^{log_e \left | x \right |}[/latex] então, sua tangente em x=2 tem por inclinação o ângulo teta:
resposta: pi/4 rad

agradeço quem puder me dar uma força

por **Giovana Martins** Qui 28 Mar 2024, 22:09

[latex]\\\mathrm{\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left [ e^{ln|x|} \right ]=\frac{d}{dx}\left ( |x| \right )=\frac{d}{dx}\left ( \sqrt{x^2} \right )=\frac{d}{dx}\left [ (x^2)^{\frac{1}{2}} \right ]=\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{|x|}}\\\\ \mathrm{Dado\ que\ |x|=\left\{\begin{matrix} \mathrm{x,se\ x\geq 0}\\ \mathrm{-x,se\ x<0} \end{matrix}\right.\ \therefore\ em\ x=2\ tem-se\ que\ |x|=x}\\\\ \mathrm{\therefore\ \left [ \frac{dy}{dx} \right ]_{x=2}=\frac{x}{x}=1.\ Como\ m=tan(\theta )=\left [ \frac{dy}{dx} \right ]_{x=2}=1\ \therefore\ \theta }=\frac{\pi }{4}[/latex]

por ryanprep01 Qui 28 Mar 2024, 22:28

Giovana Martins escreveu:
[latex]\\\mathrm{\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left [ e^{ln|x|} \right ]=\frac{d}{dx}\left ( |x| \right )=\frac{d}{dx}\left ( \sqrt{x^2} \right )=\frac{d}{dx}\left [ (x^2)^{\frac{1}{2}} \right ]=\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{|x|}}\\\\ \mathrm{Dado\ que\ |x|=\left\{\begin{matrix} \mathrm{x,se\ x\geq 0}\\ \mathrm{-x,se\ x<0} \end{matrix}\right.\ \therefore\ em\ x=2\ tem-se\ que\ |x|=x}\\\\ \mathrm{\therefore\ \left [ \frac{dy}{dx} \right ]_{x=2}=\frac{x}{x}=1.\ Como\ m=tan(\theta )=\left [ \frac{dy}{dx} \right ]_{x=2}=1\ \therefore\ \theta }=\frac{\pi }{4}[/latex]

tem algum outro jeito de chegar no gabarito sem ser por derivadas? no edital do meu concurso não é cobrada a parte de cálculo, então eu não dou tanta atenção. muito obrigado pela resolução!

por **Giovana Martins** Qui 28 Mar 2024, 22:42

Disponha.

Neste caso específico há sim. Fiz por derivadas, pois assuntos assim geralmente são resolvidos por derivadas e é geralmente o que a pessoa espera como resolução.

É sabido que, pelas propriedades dos logaritmos:

e^ln(a) = a

Assim, e^ln|x| = |x| = f(x).

Pelas propriedades dos módulos, |x| = x, se x ≥ 0 ou |x| = - x, se x < 0.

Graficamente, portanto, f(x) = e^ln|x| se comporta da seguinte forma (a reta preta é a tangente em x = 2):