Vínculos Geométricos - [ITA/IME]

GABARITO:

trabalhocal1a escreveu:

Inicialmente, algumas convenções: [latex]L\rightarrow[/latex] comprimento do fio que liga as esferas A e B, [latex]m_{A}\rightarrow [/latex] massa da esfera A, [latex]m_B\rightarrow[/latex] massa da esfera B, [latex]h\rightarrow[/latex] altura inicial da esfera B em relação ao solo, [latex]d\rightarrow[/latex] distância entre as esferas A e B após B tocar o solo, [latex]v_A\rightarrow[/latex] velocidade escalar da esfera A na posição 7m,  [latex]v_B\rightarrow[/latex] velocidade da esfera B no momento em que toca o solo.

Como não há atrito e o movimento resulta da força peso atuando em B (força conservativa), a energia mecânica do sistema é constante ao longo do tempo. Antes de iniciar o movimento, a energia mecânica inicial é devida somente à parcela da energia potencial da esfera B, isto é, [latex]m_B g h [/latex]. Quando a esfera B toca o solo, a energia mecânica do sistema é devida somente às energias cinéticas de A e B, isto é, [latex] \frac{1}{2} m_A v_A^2+\frac{1}{2} m_B v_B^2 [/latex]. Igualando as energias mecânicas inicial e final, obtemos: 

[latex]m_B g h = \frac{1}{2}m_A v_A^2 + \frac{1}{2}m_B v_B^2 [/latex]

Na expressão acima, a fim de obter [latex]v_B[/latex], precisamos calcular [latex]h[/latex] e a relação entre [latex]v_A[/latex] e [latex]v_B[/latex]  a partir da geometria do problema.

Gostaria de poder enviar o diagrama que fiz, mas o fórum está acusando falta de espaço, sendo assim, vou tentar descrever a geometria envolvida. Na configuração inicial, temos um triângulo retângulo de hipotenusa [latex]L-7 [/latex], cateto horizontal [latex]d+7[/latex] e cateto vertical [latex]h+7[/latex], o que fornece a seguinte relação via Pitágoras:

[latex](L-7)^2=(d+7)^2 + (h+7)^2 [/latex]   (I)

E ainda para este mesmo triângulo, temos a relação trigonométrica:

[latex]\tan 37^{\circ} = \frac{h+7}{d+7}[/latex]        (II)

Quando a esfera B toca o solo, temos a configuração de triângulo retângulo de hipotenusa [latex]L-7-h [/latex], cateto horizontal [latex]d[/latex] e cateto vertical [latex]h+7[/latex], o qual fornece a seguinte relação via Pitágoras:

[latex](L-7-h)^2 = (h+7)^2 + d^2[/latex]               (III)

As expressões (I), (II) e (III)  proveem um sistema de 3 equações quadráticas INDEPENDENTES em 3 VARIÁVEIS (L,d,h), portanto SOLÚVEL. Após proceder às substituições, simplificações e "bruxarias" trigonométricas (essas contas vão ficar para os interessados como motivação de TREINAMENTO IME/ITA), obtemos a seguinte expressão para [latex]h[/latex]:

[latex]h=7+\frac{14(1-\cos 37^{\circ})}{\sin 37^{\circ} -2} [/latex]   (IV)

Quanto ao restante da solução, postarei em outra ocasião se houver interesse.

Giovana Martins escreveu:

Confesso que estou há um bom tempo tentando mexer neste problema, mas não consigo avançar muito. Não estão faltando dados? A questão não fala nada sobre as massas dos corpos? Tudo bem que os corpinhos ali parecem iguais (kkk), mas não me parece razoável supor massas iguais somente pela semelhança dos corpos.

Giovana Martins escreveu:

Achei este enunciado na net (está numa lista de exercícios do Poliedro ITA/IME). A partir dele havia faltado os dados das massas.

Trabalho, segue o link que ensina a colocar imagens.

https://pir2.forumeiros.com/t541-colocar-imagens-no-seu-post

scofield escreveu:

Giovana Martins escreveu:

Achei este enunciado na net (está numa lista de exercícios do Poliedro ITA/IME). A partir dele havia faltado os dados das massas.

Trabalho, segue o link que ensina a colocar imagens.

https://pir2.forumeiros.com/t541-colocar-imagens-no-seu-post

Buenas, Giovana! Feliz Natal.

Muito grato pelo trabalho de procurar na net... eu não tive essa ideia hahaha. Infelizmente ou felizmente, peguei essa questão de uma lista "duvidosa" e agora com sua postagem que me dei conta que eles apenas copiaram a questão da lista do Poli... alterando pequenas partes do enunciado.

Boa tarde. Feliz Natal .