Vînculos Geométricos e MHS

Não consigo fazer esse exercício de jeito nenhum, sempre acaba surgindo dúvidas novas sobre vínculos geométricos.

"Se as molas possuem a mesma constante elástica, determine o período de oscilação da carga m."






resp: letra c)

Obs.: chamarei tração de N para não confundir com o tempo.

i) Definindo o vinculo.

Observe a figura. 

Veja que se imaginarmos a mola k₁ subindo uma distância x₁, temos:
x_M = 2x₁ (a massa desce 2x₁)

Veja que se imaginarmos a mola k₂ descendo uma distância x₂, temos:
x_M = 2x₂ (a massa desce 2x₂)

Logo, com a composição dos 2 movimentos temos:
x_M = 2x₁ + 2x₂ 

ii) Pela roldana 2 temos:

[latex]2\cdot N=k_{2}\cdot x_{2}\Rightarrow x_{2}=\frac{2\cdot N}{k_{2}}[/latex]


iii) Pela roldana 1 temos:


[latex]2\cdot N=k_{1}\cdot x_{1}\Rightarrow x_{1}=\frac{2\cdot N}{k_{1}}[/latex]



iv) subtituindo temos:


[latex]x_{M}=2\cdot \frac{2\cdot N}{k_{1}} + 2\cdot \frac{2\cdot N}{k_{2}}=\left ( \frac{4}{k_{1}} + \frac{4}{k_{2}} \right )\cdot N[/latex]



[latex]N=\frac{1}{\left ( \frac{4}{k_{1}} + \frac{4}{k_{2}} \right )}\cdot x_{M}=\frac{k_{1}\cdot k_{2}}{4\cdot (k_{1} + k_{2})}\cdot x_{M}[/latex]

v) Como imaginamos a massa caindo temos:

[latex]m\cdot g - N=m\cdot a \Rightarrow a=-\frac{N}{m}+g[/latex]


[latex]a=-\frac{k_{1}\cdot k_{2}}{4\cdot m\cdot (k_{1}+k_{2})}\cdot x_{M}+g[/latex]

vi) Com isso temos que:

[latex]w^{2}=\frac{k_{1}\cdot k_{2}}{4\cdot m\cdot (k_{1}+k_{2})}[/latex]


[latex]T=\frac{2\pi }{w}=2\pi \sqrt{\frac{4\cdot m\cdot (k_{1}+k_{2})}{{k_{1}\cdot k_{2}}}}=4\pi \sqrt{\frac{m\cdot (k_{1}+k_{2})}{{k_{1}\cdot k_{2}}}[/latex]


vii) Como as molas tem a mesma constante (k1 = k2 = k), temos:

[latex]T=4\pi \sqrt{\frac{2m}{k}}[/latex]