24: reta tangente ao gráfico

por Analise Sousa Pereira Sáb 16 Dez 2023, 11:35

Qual a equação da reta tangente ao gráfico da função y = e^[3x], no ponto de abscissa x = 0, é:

A) y = 3ex – 2
B) y = 1 + ex/3
C) y = 3x + 1
D) y = ex – 4
E) y = x + 1

Gabarito: C

Adaptado de coseac 2009

por **Giovana Martins** Sáb 16 Dez 2023, 11:47

[latex]\\\mathrm{\ \ Sendo\ y=e^{3x},para\ x=0\ tem-se:y=e^0=1}\\\\ \mathrm{Deste\ modo\ o\ ponto\ de\ tang\hat{e}ncia\ \acute{e}\ dado\ por\ T(0,1)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left ( e^{3x} \right )=3e^{3x}\ \therefore\ \left [ \frac{dy}{dx} \right ]_{x=0}=3e^0=3}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ Reta\ tangente:y=(x-x_0)\left [ \frac{dy}{dx} \right ]_{x=0}+y_0}\\\\ \mathrm{y=(x-0)\cdot 3+1\ \therefore\ reta\ tangente\to \boxed {\mathrm{y=3x+1}}}[/latex]

por Analise Sousa Pereira Sáb 16 Dez 2023, 15:50

Teria como solucionar sem usar derivação?

por **Giovana Martins** Sáb 16 Dez 2023, 16:36

Sim, neste caso teria, embora não seja o habitual para questões como esta. Sendo o ponto de tangência dado por T(0,1), vamos testar as alternativas.

Para T(0,1) em a): 1 = - 2 (absurdo).

Para T(0,1) em b): 1 = 1 (ok, esta talvez seja uma resposta).

Para T(0,1) em c): 1 = 1 (ok, esta talvez seja uma resposta).

Para T(0,1) em d): 1 = - 4 (absurdo).

Para T(0,1) em e): 1 = 1 (ok, esta talvez seja uma resposta).

O que fazer agora já que temos 3 respostas possíveis? Teremos que postar os gráficos das funções dos itens b), c) e e), pois todas estas funções passam pelo ponto (0,1), mas somente uma delas (no caso a função do item c) é tangente à curva y = e^3x.

Veja que somente y = 3x + 1 tangencia a curva y = e^3x. Enfim, a questão foi pensada para ser resolvida utilizando derivadas, mas dá para fazer uma "gambiarra" e resolver sem utilizar derivadas. O problema é que resolver dessa forma alternativa lhe custaria um tempo muito grande.

por Mael0912 Sáb 16 Dez 2023, 22:04

Giovana Martins escreveu:
Sim, neste caso teria, embora não seja o habitual para questões como esta. Sendo o ponto de tangência dado por T(0,1), vamos testar as alternativas.

Para T(0,1) em a): 1 = - 2 (absurdo).

Para T(0,1) em b): 1 = 1 (ok, esta talvez seja uma resposta).

Para T(0,1) em c): 1 = 1 (ok, esta talvez seja uma resposta).

Para T(0,1) em d): 1 = - 4 (absurdo).

Para T(0,1) em e): 1 = 1 (ok, esta talvez seja uma resposta).

O que fazer agora já que temos 3 respostas possíveis? Teremos que postar os gráficos das funções dos itens b), c) e e), pois todas estas funções passam pelo ponto (0,1), mas somente uma delas (no caso a função do item c) é tangente à curva y = e^3x.

Veja que somente y = 3x + 1 tangencia a curva y = e^3x. Enfim, a questão foi pensada para ser resolvida utilizando derivadas, mas dá para fazer uma "gambiarra" e resolver sem utilizar derivadas. O problema é que resolver dessa forma alternativa lhe custaria um tempo muito grande.

giovana como vc colocou esse 3x + 1 com aquele negocio no final como se fosse um quadrado acho isso maneiro demais nunca aprendi