reta tangente ao gráfico

por Ana Maria da Silva Qua 12 Jun 2013, 19:43

Os pontos onde a reta tangente ao gráfico de f(x)=x/x^-1 é horizontal são:

por Matheus Fillipe Qua 12 Jun 2013, 20:03

Você quis realmente dizer:

$f=\frac{x}{x^{-1}}$

Isso é simplificado para x^2 e a derivada é 2x, portanto se a tangente está no ponto:

2x=0 ===>x=0, f=0

por Ana Maria da Silva Qui 13 Jun 2013, 13:14

Eu quis dizer que :
f(x)=x/x ao quadrado-1.

por Matheus Fillipe Qui 13 Jun 2013, 19:18

Você quis dizer isto:

$\frac{x}{x^2 -1}$

Certo. Vamos calcular sua derivada. Trata-se da derivada de um produto, observe:

$\frac{\mathrm{d} \frac{x}{x^2 -1}}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{x^2 -1}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+x\frac{\mathrm{d} \frac{1}{x^2 -1}}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{x^2 -1}+x\frac{\mathrm{d} \frac{1}{x^2 -1}}{\mathrm{d}x}$

Para a segunda derivada aplicamos a regra da cadeia:

$x\frac{\mathrm{d} \frac{1}{x^2 -1}}{\mathrm{d}x}=x(\frac{\mathrm{d}\frac {1}{x^2 -1} }{\mathrm{d (x^2 -1}) })\frac{\mathrm{d} x^2 -1}{\mathrm{dx} }=2x^2(-\frac{1}{(x^2-1)^2})$

Igualando a derivada horizontal a zero(condição para horizontalidade):

$\frac{1}{x^2-1}-2x^2\frac{1}{(x^2-1)^2}=\frac{x^2-1-2x^2}{(x^2-1)^2}=0 \: \: \: ==>-x^2-1=0\ ==> x=i$

Assim a função não possui nenhum ponto em que sua tangente é horizontal.
Era isto mesmo?