(IME/ITA) Cone

por JpGonçalves_2020 Qui 16 Nov 2023, 15:12

Em um cone equilátero de geratrizes [latex]V_{A}[/latex] e [latex]V_{B}[/latex] diametralmente opostas, traça-se por A um plano perpendicular a [latex]V_{B}[/latex], intersectando-o em H. Se [latex]V_{H} = 2[/latex], calcule o volume do cone determinado pelo plano.

por **Giovana Martins** Sáb 18 Nov 2023, 06:41

Nota: No meu desenho eu acabei passando o plano pela geratriz V_A ao invés da geratriz V_B, que é como pede o enunciado. De qualquer modo, não houve alteração na resolução do problema tendo em vista a sua simetria.

Sendo o cone de geratrizes V_A e V_B equilátero, a seção meridiana que passa pelo cone indicado pelos pontos A, B e C é um triângulo equilátero, motivo pelo qual m(∠BAC) = 60°.

Do enunciado, V_H = 2, logo, do triângulo retângulo de lados R e H, além da hipotenusa V_H, tem-se:

cos(60°) = R/V_H → R = 2 x 0,5 ∴ R = 1

sin(60°) = H/V_H → H = √3

V = [∏ x (1)² x √3]/3 ∴ V = (∏√3)/3

Bom, acho que é isso. Se tiver o gabarito, poste-o, por favor.

por **Medeiros** Sáb 18 Nov 2023, 16:40

Acho que o cone fica dividido em dois volumes:

V1 = 8π
e
V2 = (8/3).(4√3 - 3).π

agora necessito urgentemente colocar o tablet para carregar. Depois posto desenho e contas.

ERRATA
Agora no celular. Estes nºs estão errados, O raciocínio acho que está certo mas fiz contas rascunhsdas/afobadas e confundi medidas.

por **Giovana Martins** Sáb 18 Nov 2023, 16:44

Medeiros escreveu:
Acho que o cone fica dividido em dois volumes:

V1 = 8π
e
V2 = (8/3).(4√3 - 3).π

agora necessito urgentemente colocar o tablet para carregar. Depois posto desenho e contas.

Eu também estava esperando uma construção desse tipo quando eu li o enunciado, porém, ao fazer a secção do cone, eu não consegui enxergar uma secção perpendicular a uma das geratrizes e que ao mesmo tempo intersectasse a geratriz diametralmente oposta.

Ansiosa pela sua resolução.

por **Medeiros** Sáb 18 Nov 2023, 17:04

Giovana Martins escreveu:
Eu também estava esperando uma construção desse tipo quando eu li o enunciado, porém, ao fazer a secção do cone, eu não consegui enxergar uma secção perpendicular a uma das geratrizes e que ao mesmo tempo intersectasse a geratriz diametralmente oposta.

Ansiosa pela sua resolução.

De início sequer entendi o enunciado -- como assim, cone com duas geratrizes?!! Mas depois que vi sua resposta, o enunciado começou a fazer sentido e consegui rascunhar uma figura (já não existe mais, era só rascunho, terei de fazer direito para responder aqui) para entender o que fazer. Acho que à noite o tablet já carregou.

por **Medeiros** Dom 19 Nov 2023, 01:42

Bem, a menos que tenha feito um erro crasso muito cabeludo, é assim que entendi o enunciado após o incentivo da Giovana.
O enunciado chama o vértice do cone de V e eu preciso referir volumes e usei a letra V também, espero que isto não crie confusão.

IME/ITA escreveu:Em um cone equilátero de geratrizes [latex]V_{A}[/latex] e [latex]V_{B}[/latex] diametralmente opostas, traça-se por A um plano perpendicular a [latex]V_{B}[/latex], intersectando-o em H. Se [latex]V_{H} = 2[/latex], calcule o volume do cone determinado pelo plano.

g = geratriz do cone
Como é um cone equilátero sua seção meridiana é um triângulo equilátero.
β = plano da base do cone
π = plano que passa por A e é perpendicular a V_B, cortando esta geratriz em H. O corte de π no cone define a área S_π.
O = centro do círculo da base.

Como é cone equilátero, na seção meridiana VAB temos que VO = AH = altura do triângulo VAB. A altura de um triângulo equilátero divide a base ao meio, logo

VH = HB -----> g - 2 = 2 -----> g = 4

portanto o raio da base = OA = OB = g/2 = 2
e

VO = AH = g.√3/2 -----> VO = AH = 2√3

Já conseguimos calcular o volume do cone:

[latex]\\V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot\left(\frac{g}{2} \right )^{2}\cdot \overline{VO} = \frac{1}{3}\pi\cdot4\cdot2\sqrt{3}\ \to\ \boxed{\,V=\frac{8\sqrt{3}}{3}\pi\,}\approx14,51[/latex]

Os planos β e π fazem um ângulo de 30º. Com agravante de que a base do cone é um círculo e a área S_π é uma elipse. Portanto calcular diretamente o volume V₂ é difícil (nem sei como fazer, acho que entra uma integral tripla). Porém o volume V₁ está fácil de ser calculado pois é uma espécie de cone oblíquo: a base é a elipse S_π e a altura é VH = 2 que é perpendicular à base. Desta forma, faremos V₂ = V - V₁.

S_π = elipse
Precisamos obter os braços da ellipse. Seja E o centro da elipse, como AH = 2.√3, já temos o braço maior:

AE = EH = √3

Falta obter a medida do braço menor.

meu desenho não está bom porque devia mostrar MN paralelo a CD; mas é o que temos para hoje :oops:

Seja CD perpendicular a AB outro diâmetro da base, então OC = OD = 2 também são raios da base.
Na seção meridiana VAB, a partir do centro O levantamos OF paralelo a VB. OF corta AH em E (centro da elipse) e é perpendicular a AH. Como OF é base média do triângulo VAB, temos que OE = EF = BH/2 = 1. OF é o eixo da parábola que passa pelo diâmetro CD e pelo eixo menor MN da elipse S_π. Os braços menores da elipse são EM e EN.

projeção da parábola vista do plano meridiano VCD

Para calcular os eixos EM = EN adotamos um sistema ortonormal x0y e agora usamos geometria analítica.

vértice --> F(0, 2)
eq. canônica da parábola --> y = m(x - x_F)² + y_F

substituindo os dados do vértice

y = m(x - 0)² + 2 -----> y = mx² + 2

no ponto D(2, 0) -----> 0 = m.4 + 2 -----> m = -1/2

portanto a eq. da parábola nesta referência adotada é

[latex]\\y = -\frac{x^{2}}{2}+2[/latex]

Para obter EN = EM fazemos y = 1. Portanto

EM = EN = √2

então
S_π = EH.EM.π -----> S_π = √3.√2.π -----> S_π = √6.π

[latex]\\V_1 = \frac{1}{3}\cdot S_\pi\cdot\overline{VH} = \frac{1}{3}\cdot\sqrt{6}.\pi.2\ \to\ \boxed{\,V_1=\frac{2\sqrt{6}}{3}\cdot\pi\,}\approx5,13[/latex]

e finalmente

[latex]\\V_2 = V - V_1\ \to\ V_2 = \left(\frac{8\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{6}}{3} \right ).\pi\\\\ \boxed{\,\,V_2 = \frac{2\sqrt{3}}{3}\left(4-\sqrt{2} \right )\pi\,\,}\approx9,38[/latex]

_______________________________________________________________________

ficou mais longo do que eu poderia imaginar. Em todo o caso ainda acho que quando o enunciado pede "calcule o volume do cone determinado pelo plano" ele refere-se apenas ao nosso volume V₁ o qual, na verdade, é quem pede trabalho, o outro (V₂) é apenas consequencia.

por **Giovana Martins** Dom 19 Nov 2023, 07:44

Medeiros escreveu:
Bem, a menos que tenha feito um erro crasso muito cabeludo, é assim que entendi o enunciado após o incentivo da Giovana.
O enunciado chama o vértice do cone de V e eu preciso referir volumes e usei a letra V também, espero que isto não crie confusão.
IME/ITA escreveu:
Em um cone equilátero de geratrizes [latex]V_{A}[/latex] e [latex]V_{B}[/latex] diametralmente opostas, traça-se por A um plano perpendicular a [latex]V_{B}[/latex], intersectando-o em H. Se [latex]V_{H} = 2[/latex], calcule o volume do cone determinado pelo plano.
g = geratriz do cone
Como é um cone equilátero sua seção meridiana é um triângulo equilátero.
β = plano da base do cone
π = plano que passa por A e é perpendicular a V_B, cortando esta geratriz em H. O corte de π no cone define a área S_π.
O = centro do círculo da base.

Como é cone equilátero, na seção meridiana VAB temos que VO = AH = altura do triângulo VAB. A altura de um triângulo equilátero divide a base ao meio, logo
VH = HB -----> g - 2 = 2 -----> g = 4
portanto o raio da base = OA = OB = g/2 = 2
e
VO = AH = g.√3/2 -----> VO = AH = 2√3
Já conseguimos calcular o volume do cone:
[latex]\\V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot\left(\frac{g}{2} \right )^{2}\cdot \overline{VO} = \frac{1}{3}\pi\cdot4\cdot2\sqrt{3}\ \to\ \boxed{\,V=\frac{8\sqrt{3}}{3}\pi\,}\approx14,51[/latex]

Os planos β e π fazem um ângulo de 30º. Com agravante de que a base do cone é um círculo e a área S_π é uma elipse. Portanto calcular diretamente o volume V₂ é difícil (nem sei como fazer, acho que entra uma integral tripla). Porém o volume V₁ está fácil de ser calculado pois é uma espécie de cone oblíquo: a base é a elipse S_π e a altura é VH = 2 que é perpendicular à base. Desta forma, faremos V₂ = V - V₁.

S_π = elipse
Precisamos obter os braços da ellipse. Seja E o centro da elipse, como AH = 2.√3, já temos o braço maior:
AE = EH = √3
Falta obter a medida do braço menor.

meu desenho não está bom porque devia mostrar MN paralelo a CD; mas é o que temos para hoje

Seja CD perpendicular a AB outro diâmetro da base, então OC = OD = 2 também são raios da base.
Na seção meridiana VAB, a partir do centro O levantamos OF paralelo a VB. OF corta AH em E (centro da elipse) e é perpendicular a AH. Como OF é base média do triângulo VAB, temos que OE = EF = BH/2 = 1. OF é o eixo da parábola que passa pelo diâmetro CD e pelo eixo menor MN da elipse S_π. Os braços menores da elipse são EM e EN.

projeção da parábola vista do plano meridiano VCD

Para calcular os eixos EM = EN adotamos um sistema ortonormal x0y e agora usamos geometria analítica.
vértice --> F(0, 2)
eq. canônica da parábola --> y = m(x - x_F)² + y_F
substituindo os dados do vértice
y = m(x - 0)² + 2 -----> y = mx² + 2
no ponto D(2, 0) -----> 0 = m.4 + 2 -----> m = -1/2
portanto a eq. da parábola nesta referência adotada é
[latex]\\y = -\frac{x^{2}}{2}+2[/latex]
Para obter EN = EM fazemos y = 1. Portanto
EM = EN = √2
então
S_π = EH.EM.π -----> S_π = √3.√2.π -----> S_π = √6.π

[latex]\\V_1 = \frac{1}{3}\cdot S_\pi\cdot\overline{VH} = \frac{1}{3}\cdot\sqrt{6}.\pi.2\ \to\ \boxed{\,V_1=\frac{2\sqrt{6}}{3}\cdot\pi\,}\approx5,13[/latex]

e finalmente
[latex]\\V_2 = V - V_1\ \to\ V_2 = \left(\frac{8\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{6}}{3} \right ).\pi\\\\ \boxed{\,\,V_2 = \frac{2\sqrt{3}}{3}\left(4-\sqrt{2} \right )\pi\,\,}\approx9,38[/latex]

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ficou mais longo do que eu poderia imaginar. Em todo o caso ainda acho que quando o enunciado pede "calcule o volume do cone determinado pelo plano" ele refere-se apenas ao nosso volume V₁ o qual, na verdade, é quem pede trabalho, o outro (V₂) é apenas consequencia.

Excelente resolução. Minha resolução estava fácil demais para ser verdade em se tratando de uma questão IME/ITA kkkk.

Muito obrigada, Medeiros.

por **Medeiros** Dom 19 Nov 2023, 13:44

Giovana Martins escreveu:
Excelente resolução. Minha resolução estava fácil demais para ser verdade em se tratando de uma questão IME/ITA kkkk.

Muito obrigada, Medeiros.

Obrigado pelo imenso elogio, Giovana. Mas relembrando que só consegui entender o enunciado (acredite, cheguei a pensar numa ampulheta cônica de geratrizes diferentes) após ver a sua resolução; portanto o mérito também é seu.

por **Giovana Martins** Dom 19 Nov 2023, 18:55

Medeiros escreveu:
Giovana Martins escreveu:
Excelente resolução. Minha resolução estava fácil demais para ser verdade em se tratando de uma questão IME/ITA kkkk.

Muito obrigada, Medeiros.
Obrigado pelo imenso elogio, Giovana. Mas relembrando que só consegui entender o enunciado (acredite, cheguei a pensar numa ampulheta cônica de geratrizes diferentes) após ver a sua resolução; portanto o mérito também é seu.

O ângulo de 60° ali da minha resolução me enganou. Ao olhar aquele ângulo, eu esqueci qualquer outra construções possível justamente porque ele facilita muito o cálculo Smile