UF-CE COne

Considere um cone circular reto cujo raio da base é r=2raiz de 2 cm e geratriz g = 4raiz de 2 [cm]. Se A e B são pontos diametralmente opostos situados sobre a circunfêrencia da base desse cone, determine, em cm, o comprimento do menor caminho , traçado sobre a superfície lateral do cone, ligando A e B.

Desenhe o cone com raio da base r = 2*V2 e geratriz g = 4*V2
Seja V o vértice. Loque os pontos opostos A e B
Cálculo da altura do cone ----> h² = g² - r² ----> h² = (4*V2)² - (2*V2)² ----> h = 2*V6

Vamos agora planificar o cone, supondo que ele seja feito de papel e oco no meio

O resultado obtido é um setor circular com as seguintes características:

1) O arco do setor tem comprimento 2*pi*r e o raio do setor é a geratriz do cone
2) As duas extremidades do arco do setor são A (se formar novamente um cone elas vão coincidir)
3) Exatamente no meio do arco fica o ponto B ----> VA = VB = 4*V2
4) Seja M o ponto médio da corda AA ----> VM = h ----> VM = 2*V6 ----> AM = r ----> AM = 2*V2
5) Trace agora uma reta AB

MB = VB - VM ----> MB = 4*V2 - 2*V6 -----> MB² = (4V2)² - 2*(4*V2)*(2*V6) + (2*V6)² ---->

MB² = 32 - 16*V12 + 24 ----> MB² = 56 - V(3072)

No triângulo retângulo AMB ----> AB² = MB² + AM² ----> AB² = 56 - V(3072) + 8 ----> AB² = 64 - V(3072)

AB = V[64 - V(3072)]

Transformando numa diferença de radicais ----> A = 64, B = 3072 ----> A² - B = 1024 ----> V(A² - B) = 32

Radicais ----> x = (64 + 32)/2 ----> x = 48 ----> y = (64 - 32)/2 ----> y = 16

AB = Vx - Vy -----> AB = V48 - V16 ----> 4*V3 - 4 -----> AB = 4*(V3 - 1)