Análise Combinatória

Uma prova de atletismo reúne 15 atletas. Sabendo que o pódio só pode ser formado por 3 atletas e que o primeiro lugar ganha medalha de ouro, o segundo de prata e o terceiro de bronze, responda:

a) Quantos são os resultados possíveis para que sejam distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze?

b) Em quantos resultados o atleta X é “medalhado” mas o atleta Y não é “medalhado”?

gabarito:
a) 2730.
b) 468.

Minha dúvida é em relação a questão B.

Basicamente temos que fazer a permutação do atleta X nas 3 posições, e multiplicar pela combinação de 13 atletas para as 2 posições restantes. Note que na combinação temos que retirar atleta X e o Y, pois o atleta Y não deve ganhar medalha e o X consideramos que ele já possui ela.

Total de possibilidades das 3 medalhas = C(15, 3) = 455

Distribuição de ouro prata e bronze = 3! = 6

Total = 455.6 = 2 730

Olá! O raciocínio vai ser o seguinte: calcularemos todos os casos possíveis e iremos retirar aqueles que não satisfazem nossas condições. Veja que o único caso que queremos são aqueles nos quais X é medalhado e e Y não é, então tiraremos:

 - os casos em que x e y são medalhados;
 - os casos em que y é medalhado;
 - os casos em que nenhum deles é medalhado;

Perceba que, quando fizermos isso, estaremos tirando a possibilidade de medalharmos os 2, medalharmos o y e não medalhar ninguém, portanto só vai sobrar x medalhado. Vamos aos cálculos:
Obs: não vou usar a fórmula do arranjo, apenas a ideia por trás. Não usarei porque você verá que os nossos casos são mais específicos, os quais a fórmula de arranjo não consegue cobrir.

\( i)\) x e y medalhados. Temos apenas 13 pessoas para escolher (x e y já foram escolhidos) e apenas uma preencherá a vaga. Lembre-se que ainda permutaremos todas graças ao ouro, prata e bronze.

\( \binom{13}{1} . 3! = \boxed{78} \)

\( ii) \) y medalhado. Novamente, temos apenas 13 pessoas. 1 já foi, era o y. A outra não pode entrar na nossa contagem, que é o x, uma vez que estamos pegando os casos em que apenas y é medalhado. Temos apenas 2 pessoas para preencher o pódio, pois y já está preenchendo uma vaga. Novamente a permutação do ouro, prata e bronze será presente:

\( \binom{13}{2} . 3! =  \boxed{468} \)

\( iii) \) Nenhum medalhado. Mais uma vez, temos 13 possibilidades de escolha, pois x e y não podem estar na contagem. Como ninguém está no pódio ainda, temos 3 pessoas para preencher a vaga. Outra vez a permutação do ouro, prata e bronze aparece.

\( \binom{13}{3} . 3! = \boxed{1716} \)

\( iv)\) Para finalizar, pegue o total de casos calculado no item A e tire todas as exceções.

\( n = 2730 - 78 - 468 - 1716 \therefore \boxed{ n =  468} \)