|Trigonometria| - Trig. + Somatório e Logaritmo

por Arlindocampos07 Seg 10 Jul 2023, 20:01

(USA - Adaptada) O valor de [latex]S=\sqrt{3}\sum_{k=1}^{89}log_{{_{2019}}} ^{tg(k^{\circ})} [/latex] vale:

a) Zero
b) 1
c) 1/2
d) 89
e) 2019

GABARITO:

por **Giovana Martins** Seg 10 Jul 2023, 21:30

Penso que seja isto. Na terceira linhas os termos vão sendo simplificados dois a dois, restando somente tan(45°). Creio que seja isto. Se houver dúvidas, avise.

[latex]\\\mathrm{S=\sqrt{3}\sum_{k=1}^{89}log_{2019}tan(k^{\circ})=\sqrt{3}\left [ log_{2019}tan(1^{\circ})+ log_{2019}tan(2^{\circ})+...+ log_{2019}tan(89^{\circ}) \right ]}\\\\ \mathrm{S=\sqrt{3}\sum_{k=1}^{89}log_{2019}tan(k^{\circ})=\sqrt{3}log_{2019}\left [tan(1^{\circ})\cdot tan(2^{\circ})\cdot ...\cdot tan(45^{\circ})\cdot ... \cdot tan(89^{\circ}) \right ]}\\\\ \mathrm{Dado\ que\ tan(\theta )=cot(90^{\circ}-\theta )\ \therefore\ tan(1^{\circ})\cdot tan(2^{\circ})\cdot ...\cdot tan(45^{\circ})\cdot ... \cdot tan(89^{\circ}) =1}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ S=\sqrt{3}\sum_{k=1}^{89}log_{2019}tan(k^{\circ})=\sqrt{3}log_{2019}(1)=0}[/latex]