Círculo Trigonométrico - EFOMM

A, B e C são pontos consecutivos sentido anti-horário de uma circunferência de raio r. O menor arco AB tem compimento igual a r. Tomando-se como unidade u a medida do ângulo agudo ACB, qual é o valor do seno de ∏u/6 ?

Gaba é a 'E'

Amigo, por gentileza, digite sempre as questões para que outros colegas encontrem esse tópico.
veja bem, essa questão já está respondida no fórum.

Segue o link da resolução (muito boa, aliás): EFOMM 2009 (forumeiros.com)

Tendo em vista que a resolução já postada não se encontra plenamente apresentável, eis um caminho.
\[
m(\overset{\frown}{AB}) = r \implies \overset{\frown}{AB} = 1 \ \mathrm{rad}
\]
O ângulo \( \angle A\hat{C}B \) vê o mesmo arco \( A B\) que o ângulo central \( \overset{\frown}{AB} \), logo
\[
u = \angle A \hat{C} B = \frac{1}{2} \cdot \overset{\frown}{AB} = \frac{1}{2} \ \mathrm{rad}
\]
Assim,
\[
\begin{align*}
\sin \left( \frac{\pi}{6} \cdot u  \right) & = \sin \left( \frac{\pi}{6} \cdot \frac{1}{2} \right) \\
& = \sqrt{ \frac{ 1 - \cos ( \pi/6) }{2 } } \\
& = \sqrt{ \frac{ 1 - \sqrt{3}/2}{2 } } \\
& = \frac{ \sqrt{ 2 - \sqrt{3}} }{2}
\end{align*}
\]
Lembrando que
\[
\sin (\theta ) = \sqrt{ \frac{ 1 - \cos ( 2\theta) }{2} }, \quad  0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}
\]

Jvictors021 escreveu:Amigo, por gentileza, digite sempre as questões para que outros colegas encontrem esse tópico.
veja bem, essa questão já está respondida no fórum.

Segue o link da resolução (muito boa, aliás): EFOMM 2009 (forumeiros.com)

Não estou conseguindo visualizar esta resolução, por isso solicitei.

al171 escreveu:Tendo em vista que a resolução já postada não se encontra plenamente apresentável, eis um caminho.
\[
m(\overset{\frown}{AB}) = r \implies \overset{\frown}{AB} = 1 \ \mathrm{rad}
\]
O ângulo \( \angle A\hat{C}B \) vê o mesmo arco \( A B\) que o ângulo central \( \overset{\frown}{AB} \), logo
\[
u = \angle A \hat{C} B = \frac{1}{2} \cdot \overset{\frown}{AB} = \frac{1}{2} \ \mathrm{rad}
\]
Assim,
\[
\begin{align*}
\sin \left( \frac{\pi}{6} \cdot u  \right) & = \sin \left( \frac{\pi}{6} \cdot \frac{1}{2} \right) \\
& = \sqrt{ \frac{ 1 - \cos ( \pi/6) }{2 } } \\
& = \sqrt{ \frac{ 1 - \sqrt{3}/2}{2 } } \\
& = \frac{ \sqrt{ 2 - \sqrt{3}} }{2}
\end{align*}
\]
Lembrando que
\[
\sin (\theta ) = \sqrt{ \frac{ 1 - \cos ( 2\theta) }{2} }, \quad  0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}
\]

Muito Obrigado!