Números Reais
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Números Reais
por tangenttestmath Sex 31 Mar 2023, 14:16
Julgue se cada afirmação é verdadeira ou falsa, provando ou dando contraexemplo.
a) Se X é um subconjunto infinito de números reais não enumerável, então existe algum intervalo [a, b] , em que a < b, tal que X ⊃ [a, b].
b) Sejam A e B subconjuntos de números reais não vazios e limitados superiormente. Se para todo x ∈ A existe um y ∈ B com x ≤ y. É verdade que sup A ≤ sup B.
a) Se X é um subconjunto infinito de números reais não enumerável, então existe algum intervalo [a, b] , em que a < b, tal que X ⊃ [a, b].
b) Sejam A e B subconjuntos de números reais não vazios e limitados superiormente. Se para todo x ∈ A existe um y ∈ B com x ≤ y. É verdade que sup A ≤ sup B.
tangenttestmath- Iniciante
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Re: Números Reais
por DaoSeek Sex 31 Mar 2023, 15:28
(a) Falso. Sabe-se que qualquer intervalo de números reais contem números racionais. Assim, sendo X o conjunto dos irracionais, segue que nenhum intervalo está contido em X e X é infinito e não enumeravel
(b) Verdade. Se b é uma cota superior para B segue que b também é cota superior para A. De fato, caso houvesse x ∈A tal que x > b haveria y ∈B com y≥x. Ou seja, y > b, contradizendo o fato que b é cota superior de B. Portanto, b é cota superior de A. Em particular, sup B é cota superior de A. Por fim, supB ≥ sup A.
(b) Verdade. Se b é uma cota superior para B segue que b também é cota superior para A. De fato, caso houvesse x ∈A tal que x > b haveria y ∈B com y≥x. Ou seja, y > b, contradizendo o fato que b é cota superior de B. Portanto, b é cota superior de A. Em particular, sup B é cota superior de A. Por fim, supB ≥ sup A.
DaoSeek- Jedi
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