UFF - Números reais

por **rodrigoneves** Sáb 19 Jul 2014, 20:55

Fala, galera do fórum!! Tô há um tempo sem navegar por aqui porque voltaram minhas aulas na escola e tô tendo menos tempo livre... mas vou continuar entrando quando puder!!
Então temos a seguinte questão:

Assinale, dentre as alternativas a seguir, aquela que é uma sentença matemática verdadeira.
a) \,\text{Se} \, x \, \text{e} \, y \in \mathbb{R} \, \text{e} \, x \neq 0 \, \text{e} \, y \neq 0 , \text{ent\~ao} \, x^2 - y^2 \neq 0
b) \,\text{Se} \, x \, \text{e} \, y \in \mathbb{R}, \text{ent\~ao} \, \sqrt{\mid x \mid \mid y \mid} > \frac{\mid x \mid + \mid y \mid}{2}
c) \,\text{Se} \, x \, \text{e} \, y \in \mathbb{R} \, \text{e} \, x^2 > y^2, \text{ent\~ao} \, x > y
d) \,\text{Se} \, x \, \text{e} \, y \in \mathbb{R} \, \text{e} \, x + 2y \neq 0, \text{ent\~ao} \, x^2 + y^2 \neq 0
e) \,\text{Se} \, x \, \text{e} \, y \in \mathbb{R}^* \, \text{e} \, x > y, \text{ent\~ao} \, \frac{1}{x} < \frac{1}{y}
No gabarito consta a opção correta como sendo letra b. No entanto, eu consigo apenas concluir que seja letra d, pois, em reais, temos:
x^2 + y^2 = 0 \Leftrightarrow x = y = 0 e, nesse caso, x + 2y = 0 , portanto letra d é verdadeira.
E também considerei a letra b como falsa porque, tomando x = y > 0, teremos (fazendo o processo inverso)
\sqrt{x^2} = x \Rightarrow \sqrt{x \cdot x} = \frac{x + x}{2} \Rightarrow \sqrt{\mid x \mid \mid x \mid} = \frac{\mid x \mid + \mid x \mid}{2} \Rightarrow \sqrt{\mid x \mid \mid y \mid} = \frac{\mid x \mid + \mid y \mid}{2} .

Portanto, o gabarito está errado? E se não estiver, qual foi o meu erro? Grato desde já!

por Matheus Fillipe Dom 20 Jul 2014, 00:24

Seu gabarito deve estar errado. Se foce invertido o símbolo de maior seria a correta. Letra d é a correta.

por professormarcelogomes Dom 20 Jul 2014, 07:46

por Matheus Fillipe Dom 20 Jul 2014, 19:16

A b é falsa. Correto seria:

$\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}$

por **rodrigoneves** Seg 21 Jul 2014, 16:31

Amigos, então a média geométrica nunca é maior que a média aritmética; esse raciocínio vale apenas para pares de números ou se estende a n números reais positivos? Obrigado.

por Matheus Fillipe Seg 21 Jul 2014, 20:05

Se estende a n reais positivos.

por murilottt Seg 03 Jul 2017, 10:44

Por que a e) é falsa?

por **Elcioschin** Seg 03 Jul 2017, 11:00

Basta achar uma contra-prova

x > y ---> Seja x = 5 e y = 4 ---> 1/5 > 1/4 ---> 0,2 > 0,25 ---> Falsa

por **Ferrazini** Seg 03 Jul 2017, 11:44

murilottt, sejam x e y, respectivamente, iguais a 2 e -2. Então x > y, e 1/2 > 1/-2, portanto a afirmativa (E) é falsa.

por murilottt Seg 03 Jul 2017, 14:05

Não tinha pensado nesse caso, se nós pegarmos qualquer mesmo número , um negativo e outro positivo a gente tem essa sentença falsa.

Muito obrigado Ferrazini