Números Reais
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Números Reais
por Giovane Dom 25 Ago 2013, 15:34
Seja x um número real positivo.
a) Mostre que x + (1/x) >= 2
b) Determine o menor valor que pode assumir a expressão x^2 + 1/x^2 + 2x + 2/x
Não sei a resposta.
a) Mostre que x + (1/x) >= 2
b) Determine o menor valor que pode assumir a expressão x^2 + 1/x^2 + 2x + 2/x
Não sei a resposta.
Giovane- Jedi
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Re: Números Reais
por Dinheirow Dom 25 Ago 2013, 18:58
a)Trata-se de uma desigualdade bastante útil na resolução de muitos problemas, podemos demonstrá-la de várias maneiras, inclusive por desigualdade das médias, derivadas, ou da seguinte forma, que escolhi porque acredito que não seja muito comum na internet:
Sendo x real positivo, queremos provar que x + 1/x ≥ 2
Sabemos que (a - 1/a)² ≥ 0, ∀a ∈ R
Desenvolvendo-se, temos
a² - 2 + 1/a² ≥ 0, então
a² + 1/a² ≥ 2
Fazendo-se, agora, x = a²
x + 1/x ≥ 2
b)Seja f(x) = x² + 1/x² + 2x + 2/x
em que x² + 1/x² ≥ 2 (substitua x² por k, e se tem a desigualdade provada acima)
e 2(x + 1/x) ≥ 4
então f(x) ≥ 6
Sendo x real positivo, queremos provar que x + 1/x ≥ 2
Sabemos que (a - 1/a)² ≥ 0, ∀a ∈ R
Desenvolvendo-se, temos
a² - 2 + 1/a² ≥ 0, então
a² + 1/a² ≥ 2
Fazendo-se, agora, x = a²
x + 1/x ≥ 2
b)Seja f(x) = x² + 1/x² + 2x + 2/x
em que x² + 1/x² ≥ 2 (substitua x² por k, e se tem a desigualdade provada acima)
e 2(x + 1/x) ≥ 4
então f(x) ≥ 6
Dinheirow- Jedi
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Re: Números Reais
por Giovane Dom 25 Ago 2013, 20:39
Havia começado a letra "a" mas me perdi na hora de concluir.
Muito obrigado Dinheirow.
Muito obrigado Dinheirow.
Giovane- Jedi
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