Números reais

Considere os números reais positivos a, b e c tais que  [latex](a+b)(b+c)(a+c)=1[/latex]. Mostre que [latex]x=ab+bc+ac[/latex] pertence ao intervalo [latex]\left [ 0;\frac{3}{4} \right )[/latex].

Pela desigualdade das médias:

\(\dfrac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}3 \geq \sqrt[3]{ (a+b)(b+c)(c+a)} \implies \boxed{a+b+c \geq \dfrac 32}\)

Novamente pela desigualdade das médias:

\( \dfrac{a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b}6 \geq \sqrt[6]{a^6b^6c^6} \implies \)

\(\dfrac{ (a+b)(b+c)(c+a)-2abc}6 \geq abc \implies 1 - 2abc \geq 6abc \implies \boxed{abc \leq \dfrac 18} \)

Para concluir notamos que

\( (ab+bc+ca)(a+b+c) = (a+b)(b+c)(c+a) +abc  = 1+abc \implies \)

\(ab+bc+ca = \dfrac{1+abc}{a+b+c} \leq \dfrac{1+ \dfrac 18}{\dfrac 32} \implies \boxed{ab+bc+ca \leq \dfrac 34}\)

Isso mostra que \( x \leq 3/4\). Por outro lado, como a,b,c são positivos é claro que x>0. Portanto \(x \in \left(0, \dfrac 34 \right]\).