Números reais

por lili2016 Qui 25 Mar 2021, 02:01

Boa noite podem me ajudar nessa questão por favor.

Sejam [latex]x_{1},...,x_{n}[/latex] numeros reais. mostre por indução que
[latex]\left | \sum ^{n}_{i=1}xi \right |\leq \sum ^{n}_{i=1}\left | xi \right |[/latex]

Obrigada

por André Meneses Qui 25 Mar 2021, 17:52

Boa tarde,

Em primeiro lugar, deve-se verificar se a afirmativa é verdadeira para um caso base. Para n = 2:
[latex]| \sum_{i = 1}^{2} x_i | = | x_1 + x_2| \\[/latex]
Pela desigualdade triangular:
[latex]| x_1 + x_2| \leq |x_1| + |x_2| = \sum_{i = 1}^{2}| x_i |\\[/latex]

Provado o caso para n = 2, assume-se que a assertiva é verdadeira para n e prova-se que é verdadeira para n + 1. Assim, para n:

[latex]| \sum_{i = 1}^{n} x_i | \leq \sum_{i = 1}^{n}| x_i |[/latex]

Para n + 1,

[latex]| \sum_{i = 1}^{n+1} x_i | = |\sum^{n}_{i = 1} x_i + x_{n+1}| [/latex]

Aplicando a desigualdade triangular:

[latex]|\sum^{n}_{i = 1} x_i + x_{n+1}| \leq |\sum^{n}_{i = 1} x_i | + |x_{n+1}| [/latex]

Usando a hipótese de indução,

[latex]|\sum^{n}_{i = 1} x_i + x_{n+1}| \leq |\sum^{n}_{i = 1} x_i | + |x_{n+1}| \leq \sum^{n}_{i = 1}| x_i| + |x_{n+1}|[/latex]

Ademais,

[latex] \sum^{n}_{i = 1}| x_i| + |x_{n+1}| = \sum^{n+1}_{i = 1} |x_i | [/latex]

Portanto,

[latex]|\sum^{n+1}_{i = 1} x_i | \leq \sum^{n+1}_{i = 1} |x_i | [/latex]

Como se queria demonstrar.