Equacão reduzida da reta

Considere que, nesta representação,
-O ponto A pertencente ao eixo Ox;
-A reta OB é definida pela equação y=12x/5;
-A reta (r) contém a bissetriz do ângulo AÔB.


Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta,
corretamente, um ponto pertencente à reta OB
A)(1,2) B) (2,5) C) (4,40) D) (5,12) E) (12,5)
Gabarito: D

Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a equação reduzida da reta (r).

A) y=1x/3 B)y=2x/5 C) y=2x/3 D) y=5x/6 e)y=4x/3
Gabarito C.

Seja α o ângulo entre a reta r e o eixo x
O ângulo entre a reta OB e o eixo x vale 2.α

Reta OB ---> m = tg(2.α) = 12/5

tg(2.α) = 2.tgα/(1 - tg²α) = 12/5 ---> Calcule tgα

Equação de r ---> y = tgα.x

Elcioschin escreveu:Seja α o ângulo entre a reta r e o eixo x
O ângulo entre a reta OB e o eixo x vale 2.α

Reta OB ---> m = tg(2.α) = 12/5

tg(2.α) = 2.tgα/(1 - tg²α) = 12/5 ---> Calcule tgα

Equação de r  ---> y = tgα.x

Cheguei em duas funções de 2 grau, mas o x que encontrei foi X1= 144/25. X2= 0. Tenho certa dificuldade em resolver as questões q envolvem trigonometria.

Giovana Martins escreveu:

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \frac{2tan(\alpha )}{1-tan^2(\alpha )}=\frac{12}{5}\to 10tan(\alpha )=12[1-tan^2(\alpha )]}\\\\ \mathrm{10tan(\alpha )=12-12tan^2(\alpha )\to 12tan^2(\alpha )+10tan(\alpha )-12=0}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Simplificando:6tan^2(\alpha )+5tan(\alpha )-6=0}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Delta =(5)^2-(4)\times (6)\times (-6)\to \Delta =169}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ tan(\alpha )=\frac{-(5)\pm\sqrt{169}}{2\times 6}=\frac{-5\pm 13}{12}=\left\{\begin{matrix} \mathrm{-\frac{3}{2}}\\ \mathrm{\frac{2}{3}} \end{matrix}\right.}\\\\ [/latex]

Obrigado Giovana, Só mais uma pergunta antes de colocar resolvido...

Essa formula da Tangente para achar o coeficiente angular é mesmo necessária ou posso conseguir de outra forma? Por que eu não vi essa formula ou devo ter passado em branco.

Obrigado, Giovanna vou dar uma estudada na parte de trigonometria.

Você pode usar a fórmula de distância do ponto a reta também, que é a seguinte. Dado um ponto \(P = (x_0, y_0)\) e uma reta \(r\) com equação \( ax+by+c = 0\), então a distância de P a r é:

\( d(P,r) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

Aplicando ao problema, observamos que qualquer ponto da reta procurada é equidistante do eixo x e da reta OB. Como a reta OB tem equação \(12x - 5y =0\)  o eixo x é descrito pela equação \(y = 0\), dado um ponto \((x,y)\) de r vale que:

\( \dfrac{|12x-5y|}{\sqrt{144 + 25}} = \dfrac{|y|}{\sqrt 1}\)

Tirando o módulo temos as possibilidades:

 \( y = \pm \left( \dfrac{12x-5y}{13} \right) \implies \begin{cases}
y =  \frac 23 x \\
\textrm{ ou }\\
y = - \frac 32 x \end{cases}\)

Considerando  que r é a bissetriz que passa nos quadrantes ímpares, a resposta procurada será \( \boxed{ y = \frac {2x}3}\)

DaoSeek escreveu:Você pode usar a fórmula de distância do ponto a reta também, que é a seguinte. Dado um ponto \(P = (x_0, y_0)\) e uma reta \(r\) com equação \( ax+by+c = 0\), então a distância de P a r é:

\( d(P,r) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

Aplicando ao problema, observamos que qualquer ponto da reta procurada é equidistante do eixo x e da reta OB. Como a reta OB tem equação \(12x - 5y =0\)  o eixo x é descrito pela equação \(y = 0\), dado um ponto \((x,y)\) de r vale que:

\( \dfrac{|12x-5y|}{\sqrt{144 + 25}} = \dfrac{|y|}{\sqrt 1}\)

Tirando o módulo temos as possibilidades:

 \( y = \pm \left( \dfrac{12x-5y}{13} \right) \implies \begin{cases}
y =  \frac 23 x \\
\textrm{ ou }\\
y = - \frac 32 x \end{cases}\)

Considerando  que r é a bissetriz que passa nos quadrantes ímpares, a resposta procurada será \( \boxed{ y = \frac {2x}3}\)

Muito obrigado Dao.