OBMEP

A professora Jane escreveu na lousa os números 1²,2²,3²...2020². Ela propõe o seguinte jogo: Alice e Matias devem apagar números alternadamente, um número por vez, sendo que Matias começa, até que sobrem apenas dois números no quadro. Se a diferença entre estes dois números é um múltiplo de 2021, Alice vence, caso contrário, Matias vence. Determine quem sempre pode garantir a vitória independentemente de como o outro jogador jogue.
Resposta: Alice

Um possível caminho:

Sejam m, n , k valores inteiros positivos, sendo n ≤ 2020 e m < 2020

n² - m² = 2021.k

(n + m).(n - m) = 2021.k

2021 = 43.47 ---> 43 e 47 são primos

Elcioschin escreveu:Um possível caminho:

Sejam m, n , k valores inteiros positivos, sendo n ≤ 2020 e m < 2020

p² - n² = 2021.k

(p + n).(p - n) = 2021.k

2021 = 43.47 ---> 43 e 47 são primos

Tentei resolver por esse caminho inicialmente, mas não consegui. Acabei encontrando outra maneira de resolver:

Tem-se que que cada um apagará 1009 números

Sendo a e b os números que sobram na lousa, tem-se: a²-b²=(a+b)(a-b)

Para que esse produto seja multiplo de 2021, é suficiente que a+b = 2021

Listando possíveis pares:

2020+1
2019+2
2018+3
...
1011+1010

Totalizando 1010 pares. Como Matias só pode tirar 1009 números, então sempre sobrará ao menos um desses pares e, portanto, Alice sempre vencerá se apagar o "par" do número que Matias apagou (se Matias apagar 2020 ela deve apagar o 1, se apagar 2019 deve apagar o 2 e assim por diante).