OBMEP

Apagando alguns números a mais, obtemos a figura acima e notamos o seguinte padrão: os números
que não são apagados são 1, 2 e os da forma 3n +1 para n ³ 1. Para verificar que esse padrão se
estende até 1000, distribuímos os números de 1 a 1000 na seguinte tabela:
n 3n + 1 3n + 2 3(n + 1)
0 1 2 3
1 4 5 6
2 7 8 9
3 10 11 12
4 13 14 15




332 997 998 999
333 1000
A primeira coluna lista os números que deixam resto 1 quando divididos por 3, isto é, os números da
forma 3n +1; analogamente, a segunda coluna lista os números que deixam resto 2 quando divididos
por 3 e a terceira lista os múltiplos de 3; as casas de cor cinza indicam número apagados. O padrão
indicado até n = 4 se repete até o final da tabela. De fato, para n = 5, o número da primeira coluna só
será apagado caso ele seja soma de dois números não apagados anteriormente; mas isso não pode
acontecer, pois
• a soma de um número anterior da primeira coluna com 2 está na terceira coluna:
(3n +1) + 2 = 3(n +1) e
• a soma dois números anteriores da primeira coluna está na segunda coluna:
(3m+1) + (3n +1) = 3(m+ n) + 2.
Assim, o próximo número da primeira coluna, que é da forma 3n +1, não será apagado e os números
3n + 2 = (3n +1) +1 e (3(n +1) = (3n +1) + 2, à sua direita, serão apagados. Usando esse argumento linha
após linha, vemos que os números não apagados na tabela serão exatamente os números da primeira
coluna. Na tabela vemos que há 333 números da forma 3n +1 entre 4 e 1000, incluindo os extremos.
Acrescentando os números 1 e 2, obtemos 335 números não apagados.