Desigualdade Triangular

por Ruan Davi Ter 31 Jan 2023, 20:39

Prove que a distância entre quaisquer dois pontos dentro de um triângulo não é maior que a metade do perímetro desse triângulo.

Eu achei a resolução no site do portal da matemática, mas não consegui entender quando ele soma as inequações do primeiro triângulo, não daria 3LM em um dos membros? (É o exercício 16, a solução está no final).

https://cdnportaldaobmep.impa.br/portaldaobmep/uploads/material/desigualdade.pdf

Quem puder esclarecer e me ajudar com a resolução agradeço!

por JaquesFranco Ter 31 Jan 2023, 21:11

Não sei se é nessa parte que te confunde, mas veja:

LM < BL + BM
LM < AL + AM < AL + (AC + CM)

Somando 2LM < BL + BM + AL + AC + CM

por Ruan Davi Ter 31 Jan 2023, 21:32

JaquesFranco escreveu:Não sei se é nessa parte que te confunde, mas veja:

LM < BL + BM
LM < AL + AM < AL + (AC + CM)

Somando 2LM < BL + BM + AL + AC + CM

Ah sim!!! Nossa, muito obrigado! cheers

por Ruan Davi Ter 31 Jan 2023, 22:16

JaquesFranco escreveu:Não sei se é nessa parte que te confunde, mas veja:

LM < BL + BM
LM < AL + AM < AL + (AC + CM)

Somando 2LM < BL + BM + AL + AC + CM

Desculpe incomodar, mas porque exatamente o segmento AM é igual a AC+CM?

por JaquesFranco Ter 31 Jan 2023, 22:39

Ruan Davi escreveu:
JaquesFranco escreveu:Não sei se é nessa parte que te confunde, mas veja:

LM < BL + BM
LM < AL + AM < AL + (AC + CM)

Somando 2LM < BL + BM + AL + AC + CM
Desculpe incomodar, mas porque exatamente o segmento AM é igual a AC+CM?

Opa, AM não é igual a AC + CM. O que o autor fez foi aplicar novamente a desigualdade triangular, note:
LM < AL + AM (i) Triângulo ALM
AM < AC + CM (ii) Triângulo ACM

Somando AL dos dois lados em (ii):
AM + AL < AL + AC + CM, porém de (i) temos LM < AM + AL < AL + AC + CM, logo LM < AL + AC + CM

por Ruan Davi Ter 31 Jan 2023, 22:42

JaquesFranco escreveu:
Ruan Davi escreveu:
JaquesFranco escreveu:Não sei se é nessa parte que te confunde, mas veja:

LM < BL + BM
LM < AL + AM < AL + (AC + CM)

Somando 2LM < BL + BM + AL + AC + CM
Desculpe incomodar, mas porque exatamente o segmento AM é igual a AC+CM?
Opa, AM não é igual a AC + CM. O que o autor fez foi aplicar novamente a desigualdade triangular, note:
LM < AL + AM (i) Triângulo ALM
AM < AC + CM (ii) Triângulo ACM

Somando AL dos dois lados em (ii):
AM + AL < AL + AC + CM, porém de (i) temos LM < AM + AL < AL + AC + CM, logo LM < AL + AC + CM