Vetor projeção
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Vetor projeção
por Lucas_DN684 Ter 17 Jan 2023, 02:44
Mostre que se v é um vetor não nulo, então, a projeção de um vetor u sobre v é um vetor de módulo igual a |u||cos θ|, onde θ é o ângulo entre u e v.
Infelizmente não encontrei alguma demonstração desta questão, então tentei fazê-la e gostaria que alguém pudesse me corrigir, por gentileza.
Seja [latex]\left \| \vec{p} \right \|[/latex] o módulo do vetor projeção e [latex]\vec{v'}[/latex] o versor de [latex]\vec{v}[/latex], temos:
[latex]\left.\begin{matrix} \left \| \vec{u} \right \|\Rightarrow \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}\\ \left \| \vec{v'} \right \|=1\end{matrix}\right\} \Rightarrow \left \| \left ( \vec{u}\cdot \vec{v'} \right ) \vec{v'} \right \|=\sqrt{\left ( \vec{u} \cdot \vec{v'} \right )^{2}\left \| \vec{v'} \right \|^{2}} \Leftrightarrow \left \| \vec{p} \right \|= \left | \vec{u}\cdot \vec{v'} \right |\ [/latex]
Mas como [latex]\vec{v'}[/latex] é o versor de [latex]\vec{v}[/latex], temos:
[latex]\left \| \vec{p} \right \|=\left | \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left \| \vec{v} \right \|} \right |[/latex]
Então, como [latex]\vec{u}\cdot \vec{v}=\left \| \vec{u} \right \|\left \| \vec{v} \right \|\cos \theta [/latex], logo:
[latex]\left \| \vec{p} \right \|=\left | \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left \| \vec{v} \right \|} \right |\Leftrightarrow \left | \frac{\left \| \vec{u} \right \|\left \| \vec{v} \right \|\cos \theta }{\left \| \vec{v} \right \|} \right |=\left | \left \| \vec{u} \right \|\cos \theta \right |[/latex]
Verificando assim a proposição.
Infelizmente não encontrei alguma demonstração desta questão, então tentei fazê-la e gostaria que alguém pudesse me corrigir, por gentileza.
Seja [latex]\left \| \vec{p} \right \|[/latex] o módulo do vetor projeção e [latex]\vec{v'}[/latex] o versor de [latex]\vec{v}[/latex], temos:
[latex]\left.\begin{matrix} \left \| \vec{u} \right \|\Rightarrow \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}\\ \left \| \vec{v'} \right \|=1\end{matrix}\right\} \Rightarrow \left \| \left ( \vec{u}\cdot \vec{v'} \right ) \vec{v'} \right \|=\sqrt{\left ( \vec{u} \cdot \vec{v'} \right )^{2}\left \| \vec{v'} \right \|^{2}} \Leftrightarrow \left \| \vec{p} \right \|= \left | \vec{u}\cdot \vec{v'} \right |\ [/latex]
Mas como [latex]\vec{v'}[/latex] é o versor de [latex]\vec{v}[/latex], temos:
[latex]\left \| \vec{p} \right \|=\left | \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left \| \vec{v} \right \|} \right |[/latex]
Então, como [latex]\vec{u}\cdot \vec{v}=\left \| \vec{u} \right \|\left \| \vec{v} \right \|\cos \theta [/latex], logo:
[latex]\left \| \vec{p} \right \|=\left | \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left \| \vec{v} \right \|} \right |\Leftrightarrow \left | \frac{\left \| \vec{u} \right \|\left \| \vec{v} \right \|\cos \theta }{\left \| \vec{v} \right \|} \right |=\left | \left \| \vec{u} \right \|\cos \theta \right |[/latex]
Verificando assim a proposição.
Lucas_DN684- Fera
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Re: Vetor projeção
por Elcioschin Ter 17 Jan 2023, 10:56
Usando apenas trigonometria no triângulo retângulo:
Seja O a origem dos dois vetores, sendo u < v
Desenhe o vetor v no eixo horizontal
Desenhe o vetor u fazendo um ângulo θ com o vetor v
Pela extremidade A do vetor u trace uma linha pontilhada perpendicular ao vetor v e seja E o ponto onde esta linha toca o vetor v
No triângulo retângulo OEA ---> OA.cosθ = OE ---> OE = u.cosθ
Seja O a origem dos dois vetores, sendo u < v
Desenhe o vetor v no eixo horizontal
Desenhe o vetor u fazendo um ângulo θ com o vetor v
Pela extremidade A do vetor u trace uma linha pontilhada perpendicular ao vetor v e seja E o ponto onde esta linha toca o vetor v
No triângulo retângulo OEA ---> OA.cosθ = OE ---> OE = u.cosθ
Elcioschin- Grande Mestre
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