Dúvida sobre potenciação e radiciação

Olá, estou lendo o livro do Rufino porém não consigo entender uma observação feita em relação a uma propriedade.

A propriedade de potenciação é a seguinte: Seja x e y números reais de mesmo sinal e n um inteiro positivo. Se x^n = y^n então x = y.

É um fato bem simples, a demonstração também, porém logo após a demonstração realizada por radiciação, é feita a seguinte observação: Note que se x e y forem números reais negativos, a propriedade acima somente é válida se n for um número inteiro impar.

Não consigo ver o sentido nessa observação, já que se n for um número par e x e y forem números reais de sinal negativo, é óbvio que x=y, mas isso contraria a observação.

Olá Angelo;

OBS.: Note que se x e y forem números reais negativos, a propriedade acima somente é válida se n for um número inteiro impar.

Isso acontece porque, se n é par, então ao extrairmos a raiz enésima da igualdade (1/n), logo, x e y devem ser obrigatoriamente positivos ou nulos, uma vez que as raízes de índice par, no conjunto dos reais (os imaginários não são inclusos), só admitem solução com essa condição. Como exemplificação  →  √(-2), não existe; se x, y ∈ ℝ.

qedpetrich escreveu:Olá Angelo;

OBS.: Note que se x e y forem números reais negativos, a propriedade acima somente é válida se n for um número inteiro impar.

Isso acontece porque, se n é par, então ao extrairmos a raiz enésima da igualdade (1/n), logo, x e y devem ser obrigatoriamente positivos ou nulos, uma vez que as raízes de índice par, no conjunto dos reais (os imaginários não são inclusos), só admitem solução com essa condição. Como exemplificação  →  √(-2), não existe; se x, y ∈ ℝ.

Oi, obrigado pela resposta

Infelizmente ainda não faz sentido, pois não precisamos entrar no conjunto dos imaginários por meio da radiciação, por exemplo: Digamos que tenham nos dado x^n = y^n e ambos de mesmo sinal, podemos fixar n como 2 (par) e x como -2 (real negativo), a única alternativa possível para y resultar em 4 é -2 (afinal y deve ter o mesmo sinal de x), ou seja, x=y.

Isso contraria a observação, não?

"Infelizmente ainda não faz sentido, pois não precisamos entrar no conjunto dos imaginários por meio da radiciação"

Na minha opinião faz sentido, eu não entrei no conjunto dos imaginários, justamente por ele se restringir aos reais: Seja x e y números reais. Se x e y são reais, então é impossível existir uma raiz de índice par sendo x e y < 0. A própria definição, no conjunto dos reais, não permite tal operação. Do seu exemplo:

"Digamos que tenham nos dado x^n = y^n e ambos de mesmo sinal, podemos fixar n como 2 (par) e x como -2 (real negativo), a única alternativa possível para y resultar em 4 é -2 (afinal y deve ter o mesmo sinal de x), ou seja, x=y."

Por que isto é uma verdade absoluta? Afinal y deve ter o mesmo sinal de x. Esse não é o único caso possível, se n = 2 e x = -2, depreende-se que y = 2 também é solução. Ora, como é possível? O seu resultado indica x = y. 

(-2)^2 = 2^2
      4   =   4

Mas -2 ≠ 2. Se quiser tentar provar o seu raciocínio, indico você ir do seu resultado final e tentar chegar a mesma sentença inicial, afinal, é válido a relação de equivalência.