OBMEP (2022) P18 - NÍVEL 3

Sejam a e b inteiros positivos tais que a + 2 é múltiplo por b e b + 2 é múltiplo de a. Qual é o maior valor possível para a + b?

opa, vamos lá

um dos lemas da divisão deixam claro o seguinte.

se d|a, então a≥d (ou a=0)

okay, vamos no enunciado agora.

a+2 é múltiplo de b, logo. b|a+2

pelo lema, temos: a+2≥b

b+2 é múltiplo de a, logo: a|b+2

idem: b+2≥a

vamos supor sem perder a generalidade que o b≥a(recomendaria que fizesse o contrário pra ter certeza que as respostas não mudam)

então temos:

a+2≥b≥a

como a+2,a e b são inteiros, então o b poderá assumir alguns valores
1) b=a+2
2)b=a+1
3)b=a

vou fazer o ultimo caso e você tente com o restante.
b=a 
a|b+2 -> a|a+2 -> a+2=aq -> a(q-1)=2 -> a=2/(q-1)
como a é inteiro... o q=2. 
a=2=b

agora tenta fazer o mesmo com os outros casos... veja o caso em que a soma é o maior possível e ta-dah, você chegou na resposta.

questões de olimpíadas são bem puxadinhas, mas você cresce bastante resolvendo.

boa sorte