OBMEP (2022) P6 - NÍVEL 3

Admita que sejam válidas as seguintes sentenças:

• Pinóquio sempre mente;
  
• Pinóquio diz: "Todos os meus chapéus são verdes"
  

Podemos concluir dessas duas sentenças que:

(A) Pinóquio tem pelo menos um chapéu.
(B) Pinóquio tem apenas um chapéu verde.
(C) Pinóquio não tem chapéus.
(D) Pinóquio tem pelo menos um chapéu verde.
(E) Pinóquio não tem chapéus verdes.

Fala, Mateekx.
A negação da afirmativa ''Todos os meus chapéus são verdes'' é que pelo menos um dos chapéus de Pinóquio não é verde.  Não podemos afirmar que ele não tem chapéus, que ele tem apenas um verde, que não tem chapéus verdes nem que pelo menos um deles é verde.
Mas se pelo menos um dos chapéus dele não é verde, com certeza ele tem pelo menos 1 chapéu.

Para ficar mais claro o raciocínio vou passo a passo. Se Pinóquio falasse a verdade, ele diria: Pelo menos um dos meus chapéus não é verde. Com isso esperamos que ele com certeza tem chapéus (descartamos letra C). Supondo que Pinóquio tem apenas um chapéu e esse chapéu é vermelho, a afirmativa ainda é verdadeira (descartamos B e D). Em outra suposição, podemos falar que ele tem um chapéu vermelho e um chapéu verde que a proposição continua verdadeira (descartamos E)
Mas, em todas suposições ele teve pelo menos 1 chapéu, o que corrobora ainda mais para termos a letra A como resposta.

Opa, João, tudo bem?

Então, mas não há uma dualidade na resposta? Por exemplo, na afirmação do Pinóquio "Todos os meus chapéus são verdes", ele não poderia, também, estar mentindo que tem chapéu? A possibilidade de Pinóquio não ter chapéu é válida, visto que a afirmação de que todos seus chapéus são verdes é mentira, pois ele não teria nenhum.

Abraços!

Então, cara. Entendo seu raciocínio, mas infelizmente está equivocado.

Vou tentar ser mais formal. Na lógica matemática, uma sentença A pode assumir dois valores: Verdadeiro ou Falso. A negação de A, definida como ¬A, é verdadeira caso a sentença A seja falsa e falsa quando A é verdadeira.

Vamos analisar esses exemplos:
A: x = 2 Verdadeira
Logo, ¬A: x ≠ 2 Falsa

A: x ≠ 2 Falsa
Logo, ¬A: x = 2 Verdadeira

Repare que nos dois casos não há possibilidade de A e ¬A estarem simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas.

Vamos tentar aplicar isso na questão. Temos uma sentença A ''Todos os chapéus de Pinóquio são verdes'' e, nesse caso, vamos supor que ¬A é ''Pinóquio não tem chapéus''. Se encontrarmos um paradoxo, nossa suposição está falsa.

A: Todos os chapéus de Pinóquio são verdes Verdadeiro
Logo, ¬A: Pinóquio não tem chapéus Falso

A: Todos os chapéus de Pinóquio são verdes Falso
Logo, ¬A: Pinóquio não tem chapéus Verdadeiro

Até aí tudo certo, mas repare nesse caso:
A: Todos os chapéus de Pinóquio são verdes Falso
Logo, ¬A: Pinóquio não tem chapéus Falso
Um caso seria Pinóquio ter chapéus e todos eles serem brancos.

Semanticamente, A e sua negação estão constituindo um par de sentenças que podem apresentar o mesmo valor verdade. Portanto, uma não pode ser a negação da outra. Aqui está o erro.

O certo seria interpretar a negação de A ''Todos os chapéus de Pinóquio são verdes'' como ''Pinóquio tem pelo menos um chapéu que não é verde''.

Repare:
A: ''Todos os chapéus de Pinóquio são verdes'' Verdadeiro
¬A: ''Pinóquio tem pelo menos um chapéu que não é verde'' Falso

A: ''Todos os chapéus de Pinóquio são verdes'' Falso
¬A: ''Pinóquio tem pelo menos um chapéu que não é verde'' Verdadeiro

A: ''Todos os chapéus de Pinóquio são verdes'' Verdadeiro
¬A: ''Pinóquio tem pelo menos um chapéu que não é verde'' Verdadeiro

A: ''Todos os chapéus de Pinóquio são verdes'' Falso
¬A: ''Pinóquio tem pelo menos um chapéu que não é verde'' Falso

Nesse caso, as duas últimas situações não fazem sentido, justamente porque A e ¬A condizem com o fato de uma sentença ser a negação de outra. 

A partir disso podemos extrair apenas que Pinóquio tem pelo menos 1 chapéu.
Foi?

Entendi perfeitamente, obrigado, João.

Só mais uma dúvida final, como você sabia que podemos transformar a negação de todos em existe pelo menos um? Se eu não me engano li sobre lógica proposicional no FME, mas trabalhávamos apenas com símbolos. Seria meio que a substituição do qualquer que seja pelo existe? Obrigado.

Att, Mateekx.

Fala, Mateekx, assistia às aulas de olímpiadas no meu ensino médio, acabei aprendendo uma coisa ou outra quanto lógica proposicional e outras matérias não tão comuns no ensino regular. Se quiser se aprofundar no assunto, procure o canal Polos Olímpicos de Treinamento Intensivo no youtube ou veja algum dos materiais que o site da Olimpíada Brasileira de Matemática divulga.

Sobre a sua dúvida, você está certo, a negação do qualquer que seja ou para todo representada pelo símbolo ∀ é o existe um.