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OBMEP 2005 2ª FASE NÍVEL 3

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Mensagem por Juliana Salviati Dom 05 Jan 2020, 00:01

4º) Um prefeito quer construir uma praça quadrada de 10 m de lado, que terá quatro
canteiros triangulares de pedra e um canteiro quadrado de grama, como na figura. O
prefeito ainda não decidiu qual será a área do canteiro de grama, e por isso o
comprimento do segmento AB está indicado por x na figura.
A) Calcule a área do canteiro de grama para x = 2.
Gabarito: 68 m²
B) Escreva a expressão da área do canteiro de grama em função de x.
Gabarito: L² = x²+(10-x)²
Sabe-se que o canteiro de grama custa R$ 4,00 por metro quadrado e os canteiros
de pedra custam R$ 3,00 por metro quadrado. Use esta informação para responder
aos dois itens a seguir.
C) Qual a menor quantia que o prefeito deve ter para construir os cinco canteiros?
Gabarito: 350 reais
D) Se o prefeito tem apenas R$ 358,00 para gastar com os cinco canteiros, qual é a área do maior canteiro de grama que
a praça poderá ter?
gabarito: 58m²
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OBS: O meu problema foi com a letra D. Não entendi a resolução do site da OBMEP.
Desde já agradeço.

Juliana Salviati
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Mensagem por Matemathiago Qua 15 Jan 2020, 13:00

O preço P gasto é a (área de grama x preço da grama) + (area de pedra x preço de pedra)

O preço em função de x será:

P= 4(2x² - 20x + 100) + 3.2.(10x-x²)

O 2 em negrito é pq tem 4 canteiros de pedra, mas como é area de triangulo, divide por 2.

Como o cara quer gastar 358:

358 = 8x² - 80x + 400 + 60x - 6x²

2x² - 20x + 42 = 0

A area do canteiro de grama é 2x² - 20x + 100

Ou seja: (2x² - 20x +42) + 58 = 58 m²
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