Probabilidade

Fala, Mariana.

Designando que x significa quantas viagens o caminhão X fez, y quantas viagens o caminhão Y fez e z quantas viagens o caminhão Z fez, temos:

x + y + z = 10, pois temos 10 postos e nenhum dos caminhões pode visitar um posto já visitado.

Fazendo um truque algébrico para aplicar a combinação completa (que eu chamo de bizu dos paus e pedras), visto que todos os caminhões vão visitar um posto pelo menos 1 vez:

x' + 1 + y' + 1 + z' + 1 = 10
x' + y' + z' = 7

Agora x',y',z' estão entre 0 e 7 e o bizu dos paus e pedras está ligado a uma correspondência que fazemos para encontrar o número de soluções possíveis na equação acima:
Se eu escrever 7 pedras: .......
e colocar de maneira arbitrária 2 paus entre essas pedras: .|..|....
digo que as pedras à esquerda representam a quantidade de viagens de X, os do meio a quantidade de viagens de Y e à direita a quantidade de viagens de Z.
Nesse exemplo X fez 2 viagens, Y fez 3 e Z fez 5 (lembre que x' = x + 1).
Eu troquei x por x' justamente por causa de casos como esse:
||.......
Nesse caso X e Y fizeram 1 viagem cada (x' = y' = 0) e Z fez 8 viagens.

Permutando esses paus e pedras, temos uma permutação com repetição:
[latex]P = \frac{9!}{2!7!} = 36[/latex] (9 elementos, 7 pedras e 2 paus)

Agora, queremos calcular os casos que X faz exatamente 5 viagens, para isso x = 5, y = 1 + y' e z = 1 + z':
5 + y' + 1 + z' + 1 = 10
y' + z' = 3

Temos 3 pedras e 1 barra:
[latex]P = \frac{4!}{3!.1!} = 4[/latex]

Logo P = 4/36 = 1/9.

Achei muuuito legal sua técnica/macete para solucionar essa questão! Você tem uma regra para quando usá-la? Ou seja, como você sabe que pode usar esse macete?

Opa, que bom que gostou.
Quando tenho uma questão de contagem eu sempre vejo se posso simplificá-la fazendo essa equação equivalente. Esses problemas em alguns casos parecem com os problemas de combinação (simples), ou seja, você escolhe os elementos do conjunto sem que importe a ordem deles, só que diferentemente você pode escolher os elementos mais de uma vez, o que você não faria em uma combinação simples.

Exemplo:
Problema de combinação simples:
Dados 5 alunos quantos grupos de 3 eu posso fazer? (não importa a ordem na qual foram escolhidos e não posso escolher o mesmo aluno mais de uma vez).
A resposta é simplesmente: [latex]\binom{5}{3}[/latex]

Agora, se eu tenho 5 sabores de sorvete distintos, chocolate, morango, baunilha, flocos e banana. Eu quero formar uma casquinha que contenha 3 bolas, de quantas formas posso fazer?

A reposta não é [latex]\binom{5}{3}[/latex]
Há uma mudança sorrateira, mas altera completamente o problema. Nesse caso repare que eu posso escolher um sabor mais de uma vez, assim deveremos fazer uma combinação completa. Tem uma fórmula direta para isso, mas eu acho bem melhor aplicar o bizu dos paus e pedras, eu faria o seguinte:
X = quantidade de bolas de chocolate, Y = morango, Z = baunilha, W = flocos e V = banana.

Assim:
X + Y + Z + W + V = 5

Daí só fazer a permutação com repetição e sai tranquilo.
Eu fiz uma questão no fórum parecida com essa e deduzi a fórmula direta para esses casos, se preferir usar está aí:
https://pir2.forumeiros.com/t191546-questao-analise-combinatoria

Demaisss, João! Muito obrigada!!!!