QUESTÃO ANÁLISE COMBINATÓRIA

Alguém poderia me ajudar nessa questão? Ainda não compreendi o modo de resolução dos casos de combinação com repetição (que é o caso abaixo, certo?).
"Para uma confraternização de fim de ano de seu escritório, Tatiany ficou encarregada de ir ao mercado comprar as bebidas. Cada um dos oito advogados do escritório tomará um único suco de caixinha de 200 mL e ninguém se opôs quanto ao sabor do suco a ser escolhido por Tatiany. Chegando ao mercado, ela percebeu que havia suco nos sabores uva, pêssego, goiaba, caju e maracujá. De quantas maneiras diferentes Tatiany poderá escolher as oito caixinhas de suco para comprar, sabendo que o mercado possui estoque suficiente para Tatiany comprar quantas caixas de suco de cada sabor ela quiser?"
A) 40 320
B) 6 720
C) 495
D) 336
E) 56

GABARITO: LETRA C)

Fala, Maria.
Quando o objetivo é escolher 'p' elementos (não necessariamente distintos) de um conjunto de 'n' elementos distintos de forma que a ordem entre eles não importa, ou seja, escolher um suco de uva depois um suco de caju é a mesma situação caso fosse escolhido um suco de caju depois um suco de uva, é um problema de Combinação com Repetição.

Ao identificar esse tipo de problema, é só aplicar [latex]CR_n^p = \begin{pmatrix}n+p-1\\p\end{pmatrix}[/latex]

No entanto, eu gosto de utilizar o seguinte raciocínio:
Chamarei de X a quantidade de sucos de uva, Y a quantidade de sucos de caju, Z são pêssego, W são goiabada e V são maracujá.

Assim:
X + Y + Z + W + V = 8.
Queremos achar a quantidade de soluções inteiras não negativas dessa equação, qualquer letra pode assumir qualquer valor entre 0 e 8 de tal forma que a igualdade se mantenha, mas nenhuma poderá possuir valor negativo.

Assim, farei uma correspondência biunívoca entre as soluções dessa equação e as permutações de um conjunto de pontos e barras. Os sinais de + representam barras e como temos 8 elementos no total, temos 8 bolas. Ao colocar as barras entre as bolas, as bolas, da esquerda para a direita, representaram o número X, depois o Y, depois o Z, depois W e depois V.
Exemplos:

Assim no exemplo 1 compramos 3 sucos de uva, 1 de caju, 2 de pêssego, 1 de goiabada e 1 de maracujá.
No exemplo 2 compramos 0 de uva, 0 de caju, 2 de pêssego, 4 de goiabada e 2 de maracujá.
No exemplo 3 só compramos sucos de caju. Repare que o total de casos pedidos na questão equivalem a quantidade de permutações de pontos e barras acima, que podem ser calculados por uma permutação com repetição:
Temos 12 elementos no total, nos quais 8 repetem entre si e outros 4 repetem entre si.

[latex]P_{12}^{8,4} = \frac{12!}{8!4!} = \frac{12.11.10.9}{4.3.2} = 495[/latex]

Ademais, a partir desse caso deduzimos a fórmula para a contagem de uma combinação com repetição. Para encontrar CRn,p devemos permutar (n-1) barras, pois temos n elementos, e p bolas:

[latex]x_1 + x_2 + ... + x_n = p[/latex]

[latex]P_{n+p-1}^{p,n-1} = \frac{(n+p-1)!}{p!(n-1)!} = \begin{pmatrix}n+p-1\\p\end{pmatrix}[/latex]

Só para ter certeza:
[latex]\begin{pmatrix}n+p-1\\p\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5+8-1\\8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12\\8\end{pmatrix} = \frac{12!}{8!.4!} = 495[/latex]

João Pedro Lima escreveu:Fala, Maria.
Quando o objetivo é escolher 'p' elementos (não necessariamente distintos) de um conjunto de 'n' elementos distintos de forma que a ordem entre eles não importa, ou seja, escolher um suco de uva depois um suco de caju é a mesma situação caso fosse escolhido um suco de caju depois um suco de uva, é um problema de Combinação com Repetição.

Ao identificar esse tipo de problema, é só aplicar [latex]CR_n^p = \begin{pmatrix}n+p-1\\p\end{pmatrix}[/latex]

No entanto, eu gosto de utilizar o seguinte raciocínio:
Chamarei de X a quantidade de sucos de uva, Y a quantidade de sucos de caju, Z são pêssego, W são goiabada e V são maracujá.

Assim:
X + Y + Z + W + V = 8.
Queremos achar a quantidade de soluções inteiras não negativas dessa equação, qualquer letra pode assumir qualquer valor entre 0 e 8 de tal forma que a igualdade se mantenha, mas nenhuma poderá possuir valor negativo.

Assim, farei uma correspondência biunívoca entre as soluções dessa equação e as permutações de um conjunto de pontos e barras. Os sinais de + representam barras e como temos 8 elementos no total, temos 8 bolas. Ao colocar as barras entre as bolas, as bolas, da esquerda para a direita, representaram o número X, depois o Y, depois o Z, depois W e depois V.
Exemplos:

Assim no exemplo 1 compramos 3 sucos de uva, 1 de caju, 2 de pêssego, 1 de goiabada e 1 de maracujá.
No exemplo 2 compramos 0 de uva, 0 de caju, 2 de pêssego, 4 de goiabada e 2 de maracujá.
No exemplo 3 só compramos sucos de caju. Repare que o total de casos pedidos na questão equivalem a quantidade de permutações de pontos e barras acima, que podem ser calculados por uma permutação com repetição:
Temos 12 elementos no total, nos quais 8 repetem entre si e outros 4 repetem entre si.

[latex]P_{12}^{8,4} = \frac{12!}{8!4!} = \frac{12.11.10.9}{4.3.2} = 495[/latex]

Ademais, a partir desse caso deduzimos a fórmula para a contagem de uma combinação com repetição. Para encontrar CRn,p devemos permutar (n-1) barras, pois temos n elementos, e p bolas:

[latex]x_1 + x_2 + ... + x_n = p[/latex]

[latex]P_{n+p-1}^{p,n-1} = \frac{(n+p-1)!}{p!(n-1)!} = \begin{pmatrix}n+p-1\\p\end{pmatrix}[/latex]

Só para ter certeza:
[latex]\begin{pmatrix}n+p-1\\p\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5+8-1\\8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12\\8\end{pmatrix} = \frac{12!}{8!.4!} = 495[/latex]

Muito obrigada mesmo! Me ajudou demaaais. Compreendi direitinho. Bons estudos!