Udesc - Conjuntos

por Kaleun Seg 18 Abr 2022, 20:05

Oi pessoal, tudo bem?

Não consegui fazer esse exercício... Vou colocar minha resolução e dúvida após o enunciado.

Considere em um conjunto universo, com 7 elementos, os subconjuntos A, B e C, com 3, 5 e 7 elementos, respectivamente.
É correto afirmar que:

a. (A ∩ B) ∩ C tem no máximo 2 elementos.
b. (A ∩ B) ∩ C tem no mínimo 1 elemento.
c. B ∩ C tem 3 elementos.
d. A ∩ C tem no mínimo 2 elementos.
e. A ∩ B pode ser vazio.

Gabarito:

O conjunto C é o conjunto universo e tem 7 elementos.
Eu consigo calcular o conjunto intersecção de A e B com a equação:
n (A) + n (B) - n(A∩B) + 2 = 7
n(A∩B) = 3

Ou seja, o conjunto B é um subconjunto de C, e o conjunto A é um subconjunto de B...

Minha dúvida:
O conjunto (A ∩ B) ∩ C não seria exatamente o conjunto A (que tem 3 elementos)?

Abraço e agradeço desde já!

por jmm22_ Seg 18 Abr 2022, 20:32

Oi, Kaulen!
Na verdade, (A ∩ C) é no mínimo 3. Mas A ∩ C ∩ B é no mínimo 1.
De fato, pelo número de elementos de C ser igual ao do conjunto universo U, eles são iguais. Porém, isso não garante que A seja subconjunto de B.
Imagine os seguintes conjuntos:

C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A = { 1, 2, 3}
a mínima interseção possível entre os três conjuntos seria colocar em C todos os elementos que não estão em A dentre aqueles do conjunto universo. Assim, só restam 4 elementos (nesse exemplo, sobrariam os elementos 4, 5, 6, 7). Mas como C tem 5 elementos, necessariamente no mínimo um dos elementos contidos em A será repetido e, portanto, A ∩ B ∩ C é no mínimo 1. Por exemplo, C poderia ser:
C = {3, 4, 5, 6, 7}

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