[CN/EPCAR - Fatoração]

Sejam a, b, c reais não nulos com a.b.c = 1. Calcule o valor de

 

(A) 3 
(B) 4/3 
(C) 16/9 
(D) 1/3 
(E) 1 

gabarito:

Só imagino um modo, mas bem trabalhoso, fazendo a soma:

denominador = mmc = (1 + a + a.b).(1 + b + b.c).(1 + c + a.c)

Numerador = (1 + a + a.b).(1 + b + b.c) + (1 + a + a.b).(1 + c + a.c) + (1 + b + b.c).(1 + c + a.c)

O grande problema vai ser fazer a simplificação, tanto no numerador quanto no denominador.

Um modo mais simples é arbitrar valores para a , b, c, tais que a.b.c = 1

Por exemplo para a = b = c = 1 ---> 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1

Na hora do simulado eu fiz isso também, mestre, joguei os valores respeitando as condições propostas e também cheguei numa conta enorme ao tentar demonstrar de maneira algébrica que essa expressão sempre terá valor numérico igual a 1 para a.b.c = 1. 

Vou tentar alguma coisa mais tarde, muito obrigado pela ajuda. 

Quando você tem uma questão que diz tipo essa "abc = 1" e pede pra calcular um valor de alguma expressão uma coisa que eu sempre tento fazer é multiplicar e dividir por um termo que possa estar faltando em algum lugar na soma e tentar ver se as parcelas da soma "se completam".

Nessa questão por exemplo eu vi que se multiplicar e dividir o primeiro termo da soma por c, os denominadores desse primeiro termo e do último vão ficar iguais, já fazendo a multiplicação:

c/(c + ca + 1) + 1/(1 + b + bc) + 1/(1 + c + ca)
(c+1)/(c + ca + 1) + 1/(1 + b + bc)
(c+1+ca-ca)/(c + ca + 1) + 1/(1 + b + bc)
1 - ca/(c + ca + 1) + 1/(1 + b + bc)

Se agora eu multiplicar e dividir por b esse termo negativo então os denominadores dele e da outra fração vão ficar iguais, fazendo isso:

1 - 1/(bc + 1 + b) + 1/(1 + b + bc) = 1

Perceba que eu usei que abc = 1 nas passagens e que eu posso fazer essas operações, já que a, b e c são necessariamente diferentes de zero.

Essa ideia de arbitrar valores que o Elcioschin disse realmente é muito boa pra uma eventual prova objetiva, pode te poupar tempo, já que se a, b e c são valores arbitrários, então a expressão tem que valer pra todo mundo, se não ficaria sem sentido a questão.

Excelente, mestre, muitíssimo obrigado, safou demais.