Fatoração - CN/EPCAr

(a^4c^2+a^2b^4+b^2c^4)/abc = a^2b+ac^2+b^2c
colocando abc em evidência do lado esquerdo,
abc(a^3c/b + ab^3/c + bc^3/a)/abc = a^2b+ac^2+b^2c
simplificando,
(a^3c/b + ab^3/c + bc^3/a) = a^2b+ac^2+b^2c
colocando todos os termo para o lado esquerdo,
a^3c/b - a^2b + ab^3/c - ac^2 + bc^3/a - b^2c = 0
colocando os termos juntos de forma interessante,
(a^3c-b^3c)/b + (ab^3-ac^3)/c + (bc^3-a^3b)/a = 0
c/b(a^3-b^3) + a/c(b^3-c^3) + b/a(c^3-a^3) = 0
para que essa expressão seja igual a zero, os termo entre parentes devem ser iguais a zero, daí
a^3-b^3=0 => a=b
b^3-c^3=0 => b=c
c^3-a^3=0 => c=a
Portanto
E=a/b + b/c + c/a = a/a + b/b + c/c = 1+1+1=3

Saudações, matifb2017.

Gostei bastante da solução, muito grato! 

Grande abraço!!

matifb2017 escreveu:(a^4c^2+a^2b^4+b^2c^4)/abc = a^2b+ac^2+b^2c
colocando abc em evidência do lado esquerdo,
abc(a^3c/b + ab^3/c + bc^3/a)/abc = a^2b+ac^2+b^2c
simplificando,
(a^3c/b + ab^3/c + bc^3/a) = a^2b+ac^2+b^2c
colocando todos os termo para o lado esquerdo,
a^3c/b - a^2b + ab^3/c - ac^2 + bc^3/a - b^2c = 0
colocando os termos juntos de forma interessante,
(a^3c-b^3c)/b + (ab^3-ac^3)/c + (bc^3-a^3b)/a = 0
c/b(a^3-b^3) + a/c(b^3-c^3) + b/a(c^3-a^3) = 0
para que essa expressão seja igual a zero, os termo entre parentes devem ser iguais a zero, daí
a^3-b^3=0 => a=b
b^3-c^3=0 => b=c
c^3-a^3=0 => c=a
Portanto
E=a/b + b/c + c/a = a/a + b/b + c/c = 1+1+1=3

O que garante que não haverá outras soluções diferentes da dos termos em parênteses serem iguais a 0? Poderíamos ter uma parcela negativa somando com uma positiva e o resultados ser 0...