Matemática - Números Complexos VI

por coqzieiro Qua 30 Mar 2022, 17:01

Sabendo que [latex]\sum_{n=0}^{oo}\frac{sen(nx)}{3^{n}}[/latex] pode ser escrito na forma de [latex]\frac{a+b\sqrt{2}}{c}[/latex] com a, b primos entre si, [latex]sen(x)=\frac{1}{3}\, e\, 0\leq x\leq \frac{\pi }{2}[/latex]. Então o valor de a + b + c é igual a:

a) 40
b) 41
c) 42
d) 43
e) 44

Não tenho o gabarito.

Desde já, muitíssimo obrigado pela ajuda!!! Foram apenas essas questões que não consegui fazer.

Matemática - Números Complexos VI 503132

Matemática - Números Complexos VI 503132

por **Giovana Martins** Sex 01 Abr 2022, 15:33

Estou meio sem tempo para tentar mexer nesse problema agora. De qualquer forma, deixo duas possibilidades para atacar o problema:

[latex]\\\mathrm{1)\ e^{\theta i}=cis(\theta )}\\\\ \mathrm{2) \ sin(\theta )=\frac{e^{\theta i}-e^{-\theta i}}{2i}}[/latex]

Se algum membro quiser continuar, manda ver!

por coqzieiro Sex 01 Abr 2022, 18:11

Muito obrigado Giovana Martins,

Mas ainda assim, não consegui visualizar um caminho.

Segue o meu raciocínio:

[latex]\sum_{n=0}^{oo}\frac{sen(nx)}{3^{n}}=\frac{1}{2i}[\frac{e^{xi}-e^{-xi}}{3}+\frac{e^{2xi}-e^{-2xi}}{3^{2}}+...+\frac{e^{nxi}-e^{-nxi}}{3^{n}}][/latex]

Seja [latex]m=\frac{e^{xi}}{3}\, \, e\, \, k=\frac{e^{-xi}}{3}[/latex]

Logo, [latex]\sum_{n=0}^{oo}\frac{sen(nx)}{3^{n}}=\frac{1}{2i}[(m-k)+(m^{2}-k^{2})+...+(m^{n}-k^{n})] = \frac{1}{2i}[(m+m^{2}+m^{3}+...+m^{n})-(k+k^{2}+k^{3}+...+k^{n})][/latex]

Temos a diferença entre duas progressões geométricas infinitas, portanto,

[latex]\sum_{n=0}^{oo}\frac{sen(nx)}{3^{n}}=\frac{1}{2i}[\frac{m}{1-m}-\frac{k}{1-k}]=\frac{1}{2i}[\frac{m-k}{mk-(m+k)-1}][/latex]

Substituindo m e k:

[latex]\sum_{n=0}^{oo}\frac{sen(nx)}{3^{n}}=\frac{1}{2i}[\frac{\frac{e^{xi}}{3}-\frac{e^{-xi}}{3}}{\frac{e^{xi}}{3}.\frac{e^{-xi}}{3}-(\frac{e^{xi}}{3}+\frac{e^{-xi}}{3})+1}]=\frac{1}{2i}[\frac{e^{xi}-e^{-xi}}{4-(e^{xi}+e^{-xi})}]=\frac{1}{2i}[\frac{2i.sen(x)}{4-2cos(x)}][/latex]

Do enunciado sen(x) = 1/3 e cos(x) = (2√2)/3

Assim, [latex]\sum_{n=0}^{oo}\frac{sen(nx)}{3^{n}}=\frac{\frac{1}{3}}{4-2.(\frac{2\sqrt{2}}{3})}=\frac{1}{12-4\sqrt{2}}[/latex]

Então, [latex]\frac{1}{12-4\sqrt{2}}=\frac{a+b\sqrt{2}}{c}[/latex]

Bom, a partir daqui já não sei mais o que fazer...

por **Giovana Martins** Sex 01 Abr 2022, 18:49

Disponha! Acho que você errou alguma continha, veja:

\[\mathrm{\sum_{n=0}^{\infty }\left [ \frac{sin(nx)}{3^n} \right ]=\sum_{n=0}^{\infty }\left [ \frac{1}{2i} \left ( \frac{e^{nxi}}{3^n}-\frac{e^{-nxi}}{3^n} \right )\right ]=\frac{1}{2i}\sum_{n=0}^{\infty }\left [ \left ( \frac{e^{xi}}{3} \right )^n-\left ( \frac{e^{-xi}}{3} \right )^n \right ]}\]

\[\mathrm{Sejam:a=\frac{e^{xi}}{3}\ e\ b=\frac{e^{-xi}}{3}\ \therefore \ \sum_{n=0}^{\infty }\left [ \frac{sin(nx)}{3^n} \right ]=\frac{1}{2i}\sum_{n=0}^{\infty }\left ( a^n-b^n \right )=\frac{1}{2i}\left ( \frac{a}{1-a}-\frac{b}{1-b} \right )}\]

\[\mathrm{\sum_{n=0}^{\infty }\left [ \frac{sin(nx)}{3^n} \right ]=\frac{1}{2i}\left ( \frac{1}{\frac{1}{a}-1}-\frac{1}{\frac{1}{b}-1} \right )=\frac{1}{2i}\left ( \frac{1}{\frac{3}{e^{xi}}-1}-\frac{1}{\frac{3}{e^{-xi}}-1} \right )=\frac{1}{2}\left [ \frac{3sin(x)}{5-3cos(x)} \right ]}\]

\[\mathrm{\sum_{n=0}^{\infty }\left [ \frac{sin(nx)}{3^n} \right ]=\frac{1}{10-4\sqrt{2}}=\frac{10+4\sqrt{2}}{(10-4\sqrt{2})(10+4\sqrt{2})} =\frac{5+2\sqrt{2}}{34}\ \therefore \ a+b+c=41}\]