Demonstração de relação trigonométrica.

Em um triângulo ABC, mostre que, se:  ;
então vale a relação:
                               a : b : c = 1 : 1 : √2

Boa noite amigos!
Alguma dica? Tentei por trigonometria e geo. plana, mas sem sucesso...

Um possível caminho:

A + B + C = 180º ---> A + B = 180º - C

cos(A + B) = cos(180º - C) ---> cosA.cosB - senA.senB = - cosC ---> I

sen(A + B) = sen(180º - C) ---> senA.cosB + senB.cosA = senC ---> II

a/senA = b/senB = c/senC ---> III

a² = b² + c² - 2.b.c.cosA ---> IV
b² = a² + c² - 2.a.c.cosB ---> V
c² = a² + b² - 2.a.b.cosC ---> VI

Vou propor uma ideia utilizando desigualdades.

Observe que o triângulo em questão é isósceles e retângulo(deixo por sua conta provar):

[latex]\hat C = 90 \degree \text{ }, \text{ } \hat B = 45 \degree, \text{ } \hat A = 45 \degree[/latex]

Sabendo dessa informação a priori, vamos tentar provar que inevitavelmente tem-se [latex]\hat C = 90 \degree[/latex] e que [latex]\hat A = \hat B[/latex].

Primeira observação:

[latex](I) \text{ } \text{ }1 = cos(A)cos(B) + sen(A)sen(B)sen(C) \le cos(A)cos(B) +sen(A)sen(B) \implies[/latex]
(Demonstração lá embaixo)

[latex]1 \le cos(A -B)[/latex]


Mas sabemos que [latex]cos(A -B ) \le 1[/latex]

[latex]1 \le cos(A-B) \le 1 \implies cos(A-B) = 1 \implies [/latex]

[latex]A - B = (360 \degree)k, \text{ } \text{ } k \in \mathbb{Z}[/latex]

Prove que a única solução possível é k =0 --> A=B(sugestão: os ângulos pertencem a um mesmo triângulo)


Se [latex]A =B[/latex]:

[latex]cos^2 (A) + sen^2 (A)sen(C) = 1, \text{ } \text{ } cos^2 (A) + sen^2(A) = 1 \implies sen(C) = 1[/latex]

Logo C = 90 + 360ºk, k inteiro --> C = 90º

Bom você tem os ângulos praticamente definidos, usando a lei dos senos dá para calcular a razão entre dois lados quaisquer desse triângulo.

Demonstração de (I).

Como A, B e C são ângulos de um triângulo, o valor do seno deles é sempre positivo, portanto:

[latex]sen(A)sen(B) = sen(A)sen(B), \text{ } \text{ } 0 < sen(C) \le 1\implies [/latex]

[latex]sen(A)sen(B )sen(C) \le sen(A)sen(B) \implies [/latex]

[latex]cos(A)cos(B) + sen(A)sen(B)sen(C) \le cos(A)cos(B) +sen(A)sen(B)[/latex]

Bons estudos

Olá amigos!
Antes de mais nada, peço perdão pela demora na resposta... tive um problema e não consegui responder no mesmo dia.

Obrigado pelas respostas, tentarei reproduzir elas no papel!