Demonstração | Inequação trigonométrica

por José Gilvan Jr. Qui 07 Nov 2019, 23:16

Prove que xcosx < 0,71 para todo x real pertencente ao intervalo [0,pi/2]

por **Elcioschin** Sex 08 Nov 2019, 12:26

Usando derivadas:

y = x.cosx ---> y' = x.(-senx) + cosx.1 ---> y' = cosx - x.senx

O máximo valor de y acontece quando y' = 0 ---> cosx - x.senx = 0 ---> x = 1/tgx

Tabela para x no intervalo [0, pi/2]:

x = pi/6 ---> pi/6 = 1/tg(pi/6) ---> 0,52 = 1,73

x = pi/4 ---> pi/4 = 1/tg(pi/4) ---> 0,78 = 1

x = pi/3 ---> pi/3 = 1/tg(pi/3) ---> 1,05 = 0,78

O valor máximo de y = x.cosx ocorre para pi/4 < x < pi/3

Para x = pi/4 ---> y = (pi/4).cos(pi/4) ---> y = (pi/4).(√2/2) ---> y ~= 0,55

Para x = pi/3 ---> y = (pi/3).cos(pi/3) ---> y = (pi/3).(1/2) ---> y ~= 0,52

Logo: x.cosx < 0,71

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