C2- Derivação implícita, parametrização

Dado: (x^2) + (y^2) − 0,01(z^2) − 4x − 10y + 2z − 71 = 0.

1) Encontre uma parametrização para a curva de nível de z = T(x, y) que passa pelo ponto (5, 1) e utilize esta parametrização para encontrar um vetor tangente a esta curva de nível no ponto (5, 1).

2) Utilize derivação implícita para calcular o vetor gradiente ∇T(5, 1), e calcule o ângulo formado por este vetor gradiente e pelo vetor tangente do item 3. Faça um esboço geométrico da curva de nível, juntamente com os dois vetores.

3) A conclusão obtida no Exercício 2 vale em geral. Prove que, se α : [a, b] → C é uma curva de nível de z = T(x, y), então, para qualquer t ∈ [a, b], os vetores ∇T(α(t)) e α'(t) são ortogonais.