Geometria Analítica - Coordenadas Esféricas

por William Minerva Sáb 26 Mar 2022, 17:05

Como converter as coordenadas esféricas (3;90°;90°) para coordenadas cartesianas (x,y,z)? Sabendo que as coordenadas esféricas são da forma (p ; θ ; φ).

Aqui na minha apostila diz que:

x = p · sen(φ) cos(θ)
y = p · sen(φ) sen(θ)
z = p · cos(φ)

Então eu chego em uma resposta que o ponto (3, 90°, 90°) em coordenadas esféricas em coordenadas cartesianas é (0,3,0).

Mas quando eu coloco esse ponto (3;90°;90°) no GeoGebra ele diz que em coordenadas cartesianas é (0,0,3).

Onde eu estou errando?

por **Medeiros** Sáb 26 Mar 2022, 18:22

nesta questão basta 'bater o olho' e já se vê que as coordenadas são (0, 0, 3). Porém sua apostila está errada, o correto é:

x = r.cosθ.cosφ
y = r.senθ.cosφ
z = r.senφ

por William Minerva Sáb 26 Mar 2022, 20:37

Medeiros escreveu:nesta questão basta 'bater o olho' e já se vê que as coordenadas são (0, 0, 3). Porém sua apostila está errada, o correto é:

x = r.cosθ.cosφ
y = r.senθ.cosφ
z = r.senφ

Vou falar com o meu professor sobre isso, muito obrigado.

por **Medeiros** Sáb 26 Mar 2022, 22:02

Willian
acho que sua apostila pode estar errada sem ter errado. Complicado? Explico. Tudo depende de como se considera os ângulos -- fiz uma figura. Eu, o GeoGebra e os poucos livros que já vi consideram o crescimento dos ângulos conforme fig. à esquerda. Já, parece-me, sua apostila deve considerar conforme a fig. da direita.

Observe que, sempre com vértice na origem, θ é anotado a partir do eixo x -- ou seja, é como se o eixo x fosse o eixo polar no plano Oxy --; já o ângulo φ cresce a partir do plano Oxy sobre a projeção de r. Importante: as setas indicam o sentido em que o ângulo é medido.

Geometria Analítica - Coordenadas Esféricas Scre1756

Se sua apostila fornece aquelas fórmulas, também deve mostrar a figura de onde as originou. Qual a figura nela?

por William Minerva Sáb 26 Mar 2022, 23:06

Medeiros escreveu:Willian
acho que sua apostila pode estar errada sem ter errado. Complicado? Explico. Tudo depende de como se considera os ângulos -- fiz uma figura. Eu, o GeoGebra e os poucos livros que já vi consideram o crescimento dos ângulos conforme fig. à esquerda. Já, parece-me, sua apostila deve considerar conforme a fig. da direita.

Observe que, sempre com vértice na origem, θ é anotado a partir do eixo x -- ou seja, é como se o eixo x fosse o eixo polar no plano Oxy --; já o ângulo φ cresce a partir do plano Oxy sobre a projeção de r. Importante: as setas indicam o sentido em que o ângulo é medido.

Se sua apostila fornece aquelas fórmulas, também deve mostrar a figura de onde as originou. Qual a figura nela?

É isso mesmo, na minha apostila aparece essa figura do lado direito

por **Medeiros** Dom 27 Mar 2022, 01:24

Pois é ... então o gabarito desse exercício da sua apostila deve ser o que você calculou.

No entanto considero o modo da minha figura melhor, mais prático: suponha que você deva calcular a distância ortodrômica onde as coordenadas que temos são graus de longitude (E-W) e latitude (N-S). Aproveite e veja rota loxodrômica -- é usado em navegação (naval ou aérea).