O Algebrista, cap. 13, E85

por MFelipe Sex 04 Fev 2022, 19:49

Os números a, b e c são tais que b é a média aritmética entre a e c. Considere a equação quadrática [latex] ax^2+bc+c=0 [/latex] com apenas uma raiz. Qual é esta raiz?
a) [latex]-1-\sqrt{3}[/latex]
b) [latex]-1+\sqrt{3}[/latex]
c) [latex]-4+\sqrt{3}[/latex]
d) [latex]2-\sqrt{3}[/latex]
e) [latex]-2+\sqrt{3}[/latex]

resposta:

por **Elcioschin** Sex 04 Fev 2022, 22:18

As figuras não aparecem. Escreva de modo correto

por **qedpetrich** Sex 04 Fev 2022, 22:19

Olá MFelipe;

$O Algebrista, cap. 13, E85 Png.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5C%5C%5Cmathrm%7BI%29%20%5C%20b%3D%5Cfrac%7Ba+c%7D%7B2%7D%7D%5C%5C%5C%5C%5Cmathrm%7BII%29%20%5C%20%5CDelta%20%3D%200%20%5C%20%5Ctherefore%20%5C%20b%5E2%20%3D%204ac%7D%5C%5C%5C%5C%5Cmathrm%7BResolvendo%20%5C%20o%20%5C%20sistema%20%5C%20formado%20%5C%20pelas%20%5C%20eq.%20%5C%20I%20%5C%20e%20%5C%20II.%7D%5C%5C%5C%5C%5Cmathrm%7B%5Cfrac%7Ba%5E2+2ac+c%5E2%7D%7B4%7D%3D4ac%5C%20%5Crightarrow%20%5C%20a%5E2-14ac-c%5E2%3D0%7D%5C%5C%5C%5C%5Cmathrm%7BResolvendo%20%5C%20em%20%5C%20a$

OBS: Ignore a determinação de b, vou fazer na sequência, acabou ficando em função de c, era pra ser a.

Acabei usando o LATEX, não sei porque parou de funcionar, vou continuar:

c = a/(7±4√3)

b = [(7±4√3)a + a]/2 = (4±2√3)a

x = (4±2√3)a/2a = 2±√3

Então x = 2+√3 ou x = 2-√3

Dessas soluções apenas a letra d) consta. Será que eu fiz alguma coisa errada? Tem certeza sobre o gabarito?

por **qedpetrich** Sex 04 Fev 2022, 22:20

Elcio, eu acho que foi o LATEX, estava resolvendo a questão e ele parou de funcionar do nada. Neutral

por **Elcioschin** Sex 04 Fev 2022, 22:23

Então o jeito é escrever o enunciado do modo como você resolveu.

por **qedpetrich** Sex 04 Fev 2022, 22:24

Estranho é que pra mim está aparecendo normalmente.

O Algebrista, cap. 13, E85 NUvogLBEAABEAABDqTwP8A3IPEJ3de5ysAAAAASUVORK5CYII=

Só na hora de tentar usar que ele deu umas bugadas.

por **qedpetrich** Sex 04 Fev 2022, 22:27

Não sei se para os outros que usam o fórum não conseguem ver, mas mandei uma parte em LATEX:

O Algebrista, cap. 13, E85 Z5BXs40ERo4kcEtEfd7dsfQoJAPALUH5Q+CkZJfdgmoYkfKUK86kQsEACBwhKAJkITQQAEQMAnAE30WRT2xQXDQAAEMiMATYQmggAIgIBPAJros8jsRYSMQAAECksAmghNBAEQAAGfADTRZ1HYFxcMAwEQyIwANBGaCAIgAAI+AWiizyKzFxEyAgEQKCwBaCI0EQRAAAR8Av8Day5fuDUyjeIAAAAASUVORK5CYII=

O Algebrista, cap. 13, E85 Z5BXs40ERo4kcEtEfd7dsfQoJAPALUH5Q+CkZJfdgmoYkfKUK86kQsEACBwhKAJkITQQAEQMAnAE30WRT2xQXDQAAEMiMATYQmggAIgIBPAJros8jsRYSMQAAECksAmghNBAEQAAGfADTRZ1HYFxcMAwEQyIwANBGaCAIgAAI+AWiizyKzFxEyAgEQKCwBaCI0EQRAAAR8Av8Day5fuDUyjeIAAAAASUVORK5CYII=

Eaí, prossegue da OBS.

por MFelipe Sáb 05 Fev 2022, 23:39

Obrigado qedpetrich!
Também consegui resolver de outra maneira.
Como equação tem apenas uma raiz m(uma raiz dupla real), então, aplicando as relações de Girard, temos que:
[latex]m+m = \frac{-b}{a} \rightarrow 2m = \frac{-b}{a} \hspace{1cm} (I)[/latex]

[latex] m\cdot m = \frac{c}{a} \rightarrow m^2 = \frac{c}{a} \hspace{1cm} (II)[/latex]

A questão afirma que b é a média aritmética entre a e c. Então:
[latex] b=\frac{a+c}{2}\\
(-2)b= (-2) \cdot \frac{a+c}{2}\\
-2b=-(a+c) \hspace{1cm} (III)[/latex]

Fazendo II + 2(I), temos:
[latex] m^2+2(2m)=\frac{c}{a}+2 \left ( \frac{-b}{a} \right ) \\
m^2+4m=\frac{c}{a}-\frac{2b}{a} [/latex]

Usando um artifício de somar a/a em um lado da equação, e do outro lado, somar 1, obtemos:
[latex] m^2+4m+1=\frac{c}{a}-\frac{2b}{a}+\frac{a}{a} \\
m^2+4m+1=\frac{a+c-2b}{a}[/latex]

Substituindo -2b, usando a equação III, temos que:
[latex] m^2+4m+1=\frac{a+c-(a+c)}{a}\\
m^2+4m+1=0 [/latex]

Aplicando a fórmula de resolução de equações quadráticas, obtemos:
[latex] m=\frac{-(4)\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} \\
m=-2\pm \sqrt{3} [/latex]