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Livro: O Algebrista

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Resolvido Livro: O Algebrista

Mensagem por 01367856 Qui 21 Dez 2023, 15:58

sejam x e y dois números reais satisfazendo a x+y=5 e xy=7. Encontre o valor de x³+y³

gab:20


Última edição por 01367856 em Qui 21 Dez 2023, 18:17, editado 2 vez(es)
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Resolvido Re: Livro: O Algebrista

Mensagem por Giovana Martins Qui 21 Dez 2023, 16:07

Inicialmente: x³ + y³ = (x + y)(x² + y² - xy) = 5(x² + y² - 7)

Agora, (x + y)² = x² + 2xy + y², logo:

x² + y² = (x + y)² - 2xy = (5)² - 2 . 7 = 11

Então:

x³ + y³ = 5(x² + y² - 7) = 5 . (11 - 7) = 20

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Resolvido Re: Livro: O Algebrista

Mensagem por qedpetrich Qui 21 Dez 2023, 16:12

Outra forma, diga-se de passagem bem menos rebuscada que a solução da Giovana:

(i) x = 5 - y
(ii) xy = y(5 - y) = 7

Resolvendo o sistema você encontrará y, definitivamente x será determinado.

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Resolvido Re: Livro: O Algebrista

Mensagem por Elcioschin Qui 21 Dez 2023, 18:01

Ou então

x + y = 5 ---> I
x.y = 7 ---> II

I ---> (x + y)³ = y³ ---> x³ + 3.x².y + 3.x.y² + y³ = 125 --->

x³ + y³  + 3.(x.y).(x + y) = 125 ---> I e II ---> x³ + y³ + 3.7.5 = 125 --->

x³ + y³ = 20
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