Geometria Analítica - retas

por arthurmoreira Seg 27 Dez 2021, 23:54

(UF-MT) No gráfico abaixo, o ponto A tem coordenada (3, 0), os pontos B e C estão, respectivamente,

sobre a reta y 5 2 e y 5 4 e o ponto A pertence à reta que passa por B e C.

Geometria Analítica - retas 1pnxcMIOSaMAAAAASUVORK5CYII=

A partir dessas informações, pode-se afirmar que as coordenadas dos pontos B e C, tais que a soma dos quadrados das medidas dos segmentos OB e BC seja mínima, são,

respectivamente:

a) (-3/2, 2) e (-1, 4)

b) ( 2/3, 2) e (0, 4)
c) (3/2, 2) e (0, 4)
d) (2, 2) e (1, 4)
e) (1, 2) e (-1, 4)

GABARITO: LETRA C

por catwopir Ter 28 Dez 2021, 00:38

Opa, vamos lá.
as coordenadas do ponto B e C são:
C(x,4)
B(x',2)
os pontos: C,B e A são colineares.
D=0
..........................................

[latex]\begin{vmatrix} xa&ya &1 \\ xb&yb & 1\\ xc& yc & 1 \end{vmatrix}=0[/latex]

[latex]\begin{vmatrix} 3 &0 &1 \\ x'& 2 & 1\\ x& 4 & 1 \end{vmatrix}=0[/latex]

6+4x'-2x-12=0

4x'-2x-6=0

2x'-x-3=0

x=2x'-3

temos:

C(2x-3,4)

B(x';2)

[latex]OB=\sqrt{(x'-0)^2+(2-0)^2}->OB=\sqrt{x'^2+4}[/latex]

[latex]OB^2=x'^2+4[/latex]
..........................................

[latex]BC=\sqrt{(x-x')^2+(4-2)^2}->BC=\sqrt{(x-x')^2+4}[/latex]

[latex]BC^2=(x-x')^2+4[/latex]

[latex]BC^2=(2x'-3-x')^2+4->BC^2=x'^2-6x'+9+4[/latex]
..........................................
Somando temos:

[latex]BC^2+OB^2=x'^2+4+x'^2-6x'+13->BC^2+OB^2=2x'^2-6x'+17[/latex]

achando o x'v:

[latex]x'v=\frac{-b}{2a}[/latex]

[latex]x'v=\frac{6}{4}->x'v=\frac{3}{2}[/latex]

okay, temos então:
B(3/2;2)
C(2x'-3;4)->C(0;4)

solved Smile