Álgebra

(ELITE)Dado que [latex]x^{2}+y^{2}+z^2=a^2[/latex] e [latex]x + y + z = x^3+y^3+z^3=a[/latex], escreva uma igualdade expressando xyz em função de a.

Opa.


Vamos montar um polinômio de terceiro grau cujas raízes são a , b, c :

[latex]x^{3}+a1x^{2}+a2x+a3=0[/latex]

Usando as relações de Newtown:

S1+a1=0
S2+a1.S1+2.a2=0
S3+a1.S2+a2.S1+3.a3=0

Obs: Sn significa a soma das raízes elevadas a enésima potência, ou seja, no caso do polinômio com 3 raízes:

S2= [latex]x^{2}+y^{2} +z^{2}[/latex]

Das relações acima tiramos que S1=-a1 ou seja a=-a1

Também que S2+(-a).a+2.a2=0 ou seja a2=0

Por fim:

S3+(-a).S2+0.S1+3.a3=0 ou seja [latex]a3=\frac{(a-1)a(a+1)}{3}[/latex]

Montando novamente o polinômio:

[latex]x^{3}-ax^{2}+\frac{(a-1)a(a+1)}{3}=0[/latex]


Onde o produto de suas raízes é igual a -a3

No caso do polinômio acima:

[latex]x.y.z=-\frac{(a-1)a(a+1)}{3}[/latex]

Olhe um problema parecido que pode ser resolvido quase que da mesma forma:

https://pir2.forumeiros.com/t182852-uma-questao-que-envolve-provar-e-fatorar

Opa, vlw irmão.