Uma questão que envolve provar e fatorar.

Prove que se a + b + c = 0 então:

[latex]\frac{a^{5} + b^{5} + c^{5}}{5} = (\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{3}). (\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2})[/latex]

Podemos considerar a, b e c como sendo raízes de um polinômio da forma [latex]x^{3}+tx^{2}+rx+s[/latex] , pelas relações das raízes de um polinômio de grau n, sabe-se que a soma delas é igual ao coeficiente de grau n-1 sobre o coeficiente de grau n, e como a+b+c=0, definimos que t=0, logo o polinômio fica da forma [latex]x^{3}+rx+s[/latex].
Agora basta usar as relações de Newton, onde: a1=0 ; a2=r ; a3=s ; a4=0 ; a5=0:

S1+a1=0                                                                                          
S2+a1.S1+2.a2=0                                                                      
S3+a1.S2+a2.S1+3.a3=0                                                                                                
S4+a1.S3+a2.S2+a3.S1+4.a4=0
S5+a1.S4+a2.S3+a3.S2+a4.S1+5.a5=0

Realizando as substituições, chegamos nos resultados:

S2=-2r
S3=-3s
S5=5rs

Substituindo no enunciado da questão, concluímos que a igualdade é verdadeira.

Obs: Sn significa a soma das raízes elevadas a enésima potência, ou seja, no caso do polinômio com 3 raízes: [latex]S2=a^{2}+b^{2}+c^{2}[/latex]

Esse proposta de solução é pelo chamado Teorema dos Polinômios simétricos, correto?
Interessante, ainda não estudei esse teorema, mas obrigado pela solução. Ainda sim, como o livro trata esse assunto como uma questão de fatoração, irei continuar a procurar a resposta por essa via.
Obrigado mais uma vez!!!

Olá, não sabia que a minha resolução usava um teorema com este nome kkkk, mas agora eu sei, obrigado.
Vou resolver por fatoração então. Já aviso que a conta é grande kkk:

[latex](a+b+c)=0[/latex]

[latex](a+b+c)^{5}=0[/latex]

[latex](a+b+c)^{3}(a+b+c)^{2}=0[/latex]     Podemos expandir assim:

[latex]\left [ a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(a+c)(b+c) \right ]\left [ a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+ac+bc) \right ]=0[/latex]

Lembrando que [latex]a+b=-c[/latex] ; [latex]a+c=-b[/latex] ; [latex]b+c=-a[/latex] :

[latex]\left [ a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc \right ]\left [ a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+ac+bc) \right ]=0[/latex]                                                      

Agora vamos abrir esta conta:

[latex]a^{5}+a^{3}b^{2}+a^{3}c^{2}+b^{3}a^{2}+b^{5}+b^{3}c^{2}+c^{3}a^{2}+c^{3}b^{2}+c^{5}+2a^{3}(ab+ac+cb)+2c^{3}(ab+ac+cb)+2b^{3}(ab+ac+bc)-3a^{3}bc-3ab^{3}c-3abc^{3}+2(ab+ac+bc)(-3abc)=0[/latex]

Isolando e simplificando:

[latex]a^{5}+b^{5}+c^{5}=-\left \{ a^{2}b^{2}(a+b)+a^{2}c^{2}(a+c)+b^{2}c^{2}(b+c)+2(ab+ac+cb)(a^{3}+c^{3}+b^{3})-3abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(ab+ac+bc)(-3abc) \right \}[/latex]

[latex]a^{5}+b^{5}+c^{5}=-\left \{-a^{2}b^{2}c-a^{2}c^{2}b -b^{2}c^{2}a+2(ab+ac+bc)\left [ 3abc-3abc \right ]-3abc\left [ -2(ab+ac+bc) \right ]\right \}[/latex]

[latex]a^{5}+b^{5}+c^{5}=-\left \{-abc(ab+ac+bc)+6abc(ab+ac+bc)\right \}[/latex]

[latex]a^{5}+b^{5}+c^{5}=-\left \{5abc(ab+ac+bc)\right \}[/latex]

[latex]a^{5}+b^{5}+c^{5}=-5abc(ab+ac+bc)[/latex]

[latex]\frac{a^{5}+b^{5}+c^{5}}{5}=-abc(ab+ac+bc)[/latex]


Agora vamos resolver os de potência 2 e 3 :

[latex](a+b+c)^{2}=0[/latex]

[latex]a^{2}+b^{2}+c^{2}=-2(ab+ac+bc)[/latex]

[latex]\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}=-(ab+ac+bc)[/latex]

Para o outro:

[latex]a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc[/latex]

[latex]\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}=abc[/latex]

Multiplicando:

[latex]\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}.\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}=-abc(ab+ac+bc)[/latex]


Pronto, provamos a igualdade do enunciado, abraços.

Obrigado pela ajuda!!!!