Geometria, Pontos Notáveis no Triângulo

por RafawlITA Sex 17 Set 2021, 20:22

Se as 3 alturas de um triângulo somam 90 cm, calcule a soma das distâncias do baricentro aos 3 lados do triângulo

por **Rory Gilmore** Sex 17 Set 2021, 22:05

Desenhe as três medianas para obter o baricentro.

Perceba que o baricentro divide o triângulo maior formando com seus vértices três triângulos. Use o fato de que a área do triângulo maior é equivalente a soma das três áreas e resolva.

por RafawlITA Sáb 18 Set 2021, 00:03

Obrigado pela resposta, Rory, mas você poderia esboçar os próximos passos a serem seguidos na resolução?

por RafawlITA Sáb 18 Set 2021, 09:44

Consegui fazer, valeu!!!

por **Rory Gilmore** Sáb 18 Set 2021, 10:11

I) Conforme o triângulo da imagem temos:
i) A = b1.h1/2 = b2.h2/2 = b3.h3/2

ii) A = b1.d1/2 + b2.d2/2 + b3.d3/2

II) Porém, sabemos que:
b1.d1/2 = b2.d2/2 = b3.d3/2 (O baricentro SEMPRE divide o triângulo em seis de mesma área).

III) Substituindo a II em I(ii):
b1.d1/2 + b1.d1/2 + b1.d1/2 = A
3.b1.d1/2 = A e analogamente
3.b2.d2/2 = A
3.b3.d3/2 = A

Igualando com I(i):
3.b1.d1/2 = b1.h1/2
d1 = h1/3
E analogamente
d2 = h2/3
d3 = h3/3

Portanto d1 + d2 + d3 = h1/3 + h2/3 + h3/3 = 90/3 = 30

Geometria, Pontos Notáveis no Triângulo 11110

por **Medeiros** Sáb 18 Set 2021, 15:46

outro modo muito parecido com o da Rory de quem, inclusive, "roubo" a figurinha.

sabemos que --> h₁ + h₂ + h₃ = 90
e queremos --> d₁ + d₂ + d₃ = d (figura da esquerda)

sabemos também que o baricentro (G) divide a mediana na razão 2 : 1 a partir do respectivo vértice.
Consideremos inicialmente apenas a mediana e altura relativa ao vértice A (figura da direita)

Geometria, Pontos Notáveis no Triângulo Scre1568

pelo teorema de Tales (ou, num anglicismo, Thales) temos que

d₁ = h₁/3

e analogamente para os outros vértices obteremos

d₂ = h₂/3
d₃ = h₃/3

assim

d = d₁ + d₂ + d₃
d = h₁/3 + h₂/3 + h₃/3
d = (h₁ + h₂ + h₃)/3 = 90/3 = 30

por RafawlITA Sáb 18 Set 2021, 17:07

Perfeito, fiz usando semelhança, que nem o Medeiros. Muito legal o uso das áreas também. Maravilhoso, muito obrigado mais uma vez, camaradas!

por **Medeiros** Sáb 18 Set 2021, 21:16

RafawlITA escreveu:Perfeito, fiz usando semelhança, que nem o Medeiros. Muito legal o uso das áreas também. Maravilhoso, muito obrigado mais uma vez, camaradas!

apenas uma observação, Rafaw.

o teorema de Tales é sobre proporcões (entre segmentos de retas concorrentes cortadas por um feixe de paralelas). Se você fez igual a mim, não usamos semelhança mas sim proporção.

abç.

por RafawlITA Ter 21 Set 2021, 22:39

Sim. Quando falei que tinha feito como você, foi em decorrência da semelhança dos processos, ainda assim, é válida a observação, são mesmo coisas diferentes!

Abraços!