Fórum PiR2
Gostaria de reagir a esta mensagem? Crie uma conta em poucos cliques ou inicie sessão para continuar.

Taxas relacionadas

Ir em baixo

Taxas relacionadas Empty Taxas relacionadas

Mensagem por EduardoSachi Ter 11 Maio 2021, 14:27

Dois aviões estão sendo monitorados pelo controle de tráfego aéreo. O avião A está ao sul do avião B e eles estão a uma distância de 25 km. O avião A voa para oeste com velocidade de 450 km/h e o avião B voa para o sul com velocidade de 950 km/h. Um alerta tem que aparecer na tela do controlador de voo caso a trajetória atual dos aviões leve-os a uma distância de 9,2 km. Qual será a distância mínima entre eles?

EduardoSachi
iniciante

Mensagens : 8
Data de inscrição : 19/10/2020

Voltar ao Topo Ir em baixo

Taxas relacionadas Empty Re: Taxas relacionadas

Mensagem por evandronunes Qui 13 Maio 2021, 20:08

Veja a figura abaixo:

Taxas relacionadas Aviao10

Seja D a distância entre os aviões, x a distância que percorreu o avião B e y a distância que percorreu o avião A.

No triangulo retângulo, temos:  [latex]D = \sqrt{(25-x)^{2}+y^{2}}[/latex]

Agora, dado um tempo [latex]t[/latex] em hora, podemos escrever D em função de t: [latex] D(t)= \sqrt{[25-x(t)]^{2}+[y(t)]^{2}}[/latex]

Temos que:


  • [latex]x(t)=950t[/latex]
  • [latex]y(t)=450t[/latex]


Logo: [latex] D(t) = \sqrt{(25-950t)^{2}+(450t)^{2}}[/latex]


Assim,

[latex] \left [D(t) \right ]' = \left ( \sqrt{(25-950t)^{2}+(450t)^{2}} \right )'[/latex]


[latex]D'(t)= \frac{2.(25-950t).(-950)+2.(450t).450}{ 2. \sqrt{(25-950t)^{2}+(450t)^{2}}}[/latex]


[latex]D'(t)= \frac{(25-950t).(-950)+(450t).450}{ \sqrt{(25-950t)^{2}+(450t)^{2}}}[/latex]


[latex]D'(t)= \frac{-23750+902500t+202500t}{ \sqrt{(25-950t)^{2}+(450t)^{2}}}[/latex]


[latex]D'(t)= \frac{1105000t-23750}{ \sqrt{(25-950t)^{2}+(450t)^{2}}}[/latex]


Fazendo [latex]D'(t)= 0[/latex], vem:

[latex]1105000t-23750=0 \ \ \ \  \Rightarrow \ \ \ \ t \simeq 0,0215[/latex] horas


A derivada segunda de [latex]D[/latex] é [latex]D''(t)= \frac{8100}{(1768t^{2}-76t+1) \sqrt{1768t^{2}-76t+1}}[/latex]


Como [latex]D''(0,0215) > 0[/latex], temos que 0,0215 será um ponto de mínimo da função.

Portanto a distância mínima entre os aviões será:

[latex] D(0,0215) = \sqrt{(25-950.0,0215)^{2}+(450.0,0215)^{2}}[/latex]


[latex] D(0,0215) = 10,7[/latex] km

evandronunes
Recebeu o sabre de luz
Recebeu o sabre de luz

Mensagens : 199
Data de inscrição : 09/01/2015
Idade : 43
Localização : Paulo Afonso - BA

Voltar ao Topo Ir em baixo

Taxas relacionadas Empty Re: Taxas relacionadas

Mensagem por Elcioschin Qui 13 Maio 2021, 21:16

A solução poderia ter sido simplificada

Se D(t) é mínimo, [D(t)]² também é mínimo:

[D(t)]² = (25 - 950.t)² + (450.t)²

[D(t)]² = 25² - 2.25.950.t + 950².t² + 450².t²

[D(t)]² = 1 105 000.t² - 47 500.t + 625

Temos uma simples função do 2º grau; nem precisa derivar:

tV = - (- 47 500)/2.1 105 000 ---> tV  ~= 0,0215 h

Basta agora calcular [D(t)]²máx e depois D(t)máx
Elcioschin
Elcioschin
Grande Mestre
Grande Mestre

Mensagens : 61365
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 74
Localização : Santos/SP

Voltar ao Topo Ir em baixo

Taxas relacionadas Empty Re: Taxas relacionadas

Mensagem por evandronunes Sex 14 Maio 2021, 15:16

Verdade, Mestre Elcio, eu tinha visto isso, mas como foi postada no forum de Iniciação ao Cálculo, achei que a pessoa tinha preferência pela resolução da questão com as ferramentas do Cálculo.

evandronunes
Recebeu o sabre de luz
Recebeu o sabre de luz

Mensagens : 199
Data de inscrição : 09/01/2015
Idade : 43
Localização : Paulo Afonso - BA

Voltar ao Topo Ir em baixo

Taxas relacionadas Empty Re: Taxas relacionadas

Mensagem por Elcioschin Sex 14 Maio 2021, 18:33

Eu só postei a nova solução, para os os usuários do fórum que não sabem derivadas.

Mesmo assim, a nova função[D(t)]² é mais fácil de derivar.
Elcioschin
Elcioschin
Grande Mestre
Grande Mestre

Mensagens : 61365
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 74
Localização : Santos/SP

Voltar ao Topo Ir em baixo

Taxas relacionadas Empty Re: Taxas relacionadas

Mensagem por Conteúdo patrocinado


Conteúdo patrocinado


Voltar ao Topo Ir em baixo

Voltar ao Topo


 
Permissão neste fórum:
Você não pode responder aos tópicos neste fórum