Taxas relacionadas

Dois aviões estão sendo monitorados pelo controle de tráfego aéreo. O avião A está ao sul do avião B e eles estão a uma distância de 25 km. O avião A voa para oeste com velocidade de 450 km/h e o avião B voa para o sul com velocidade de 950 km/h. Um alerta tem que aparecer na tela do controlador de voo caso a trajetória atual dos aviões leve-os a uma distância de 9,2 km. Qual será a distância mínima entre eles?

Veja a figura abaixo:



Seja D a distância entre os aviões, x a distância que percorreu o avião B e y a distância que percorreu o avião A.

No triangulo retângulo, temos:  [latex]D = \sqrt{(25-x)^{2}+y^{2}}[/latex]

Agora, dado um tempo [latex]t[/latex] em hora, podemos escrever D em função de t: [latex] D(t)= \sqrt{[25-x(t)]^{2}+[y(t)]^{2}}[/latex]

Temos que:

• [latex]x(t)=950t[/latex]
  
• [latex]y(t)=450t[/latex]
  

Logo: [latex] D(t) = \sqrt{(25-950t)^{2}+(450t)^{2}}[/latex]


Assim,

[latex] \left [D(t) \right ]' = \left ( \sqrt{(25-950t)^{2}+(450t)^{2}} \right )'[/latex]


[latex]D'(t)= \frac{2.(25-950t).(-950)+2.(450t).450}{ 2. \sqrt{(25-950t)^{2}+(450t)^{2}}}[/latex]


[latex]D'(t)= \frac{(25-950t).(-950)+(450t).450}{ \sqrt{(25-950t)^{2}+(450t)^{2}}}[/latex]


[latex]D'(t)= \frac{-23750+902500t+202500t}{ \sqrt{(25-950t)^{2}+(450t)^{2}}}[/latex]


[latex]D'(t)= \frac{1105000t-23750}{ \sqrt{(25-950t)^{2}+(450t)^{2}}}[/latex]


Fazendo [latex]D'(t)= 0[/latex], vem:

[latex]1105000t-23750=0 \ \ \ \  \Rightarrow \ \ \ \ t \simeq 0,0215[/latex] horas


A derivada segunda de [latex]D[/latex] é [latex]D''(t)= \frac{8100}{(1768t^{2}-76t+1) \sqrt{1768t^{2}-76t+1}}[/latex]


Como [latex]D''(0,0215) > 0[/latex], temos que 0,0215 será um ponto de mínimo da função.

Portanto a distância mínima entre os aviões será:

[latex] D(0,0215) = \sqrt{(25-950.0,0215)^{2}+(450.0,0215)^{2}}[/latex]


[latex] D(0,0215) = 10,7[/latex] km

A solução poderia ter sido simplificada

Se D(t) é mínimo, [D(t)]² também é mínimo:

[D(t)]² = (25 - 950.t)² + (450.t)²

[D(t)]² = 25² - 2.25.950.t + 950².t² + 450².t²

[D(t)]² = 1 105 000.t² - 47 500.t + 625

Temos uma simples função do 2º grau; nem precisa derivar:

tV = - (- 47 500)/2.1 105 000 ---> tV  ~= 0,0215 h

Basta agora calcular [D(t)]²máx e depois D(t)máx

Verdade, Mestre Elcio, eu tinha visto isso, mas como foi postada no forum de Iniciação ao Cálculo, achei que a pessoa tinha preferência pela resolução da questão com as ferramentas do Cálculo.

Eu só postei a nova solução, para os os usuários do fórum que não sabem derivadas.

Mesmo assim, a nova função[D(t)]² é mais fácil de derivar.