(IME-1987) Solução por Vetores?

Sobre os catetos AB e AC de um triângulo retângulo ABC constroem-se dois quadrados ABDE e ACFG. Mostre que os segmentos CD, BF e a altura AH são concorrentes em um ponto.

Uma figura para ajudar:

Tomando como base a figura, eu obtive os planos referentes às retas, montei a matriz do sistema, tirei o determinante e constatei que da diferente de zero. Ta certo isso?

os planos seriam i)y-(b/c)x-z = 0
                         ii)y+[(c+b)x/b]-z = 0 
                        iii)y+cx/(c+b)-z = 0 
                        detA = b/c
Errei, esse determinante é nulo. E uma reta não define um plano, claro. No fim, as retas que eu obtive no plano são 
                          i)y-(b/c)x = 0
                         ii)y+[(c+b)x/b]-c = 0 
                        iii)y+[cx/(c+b)]-[cb/(c+b)] = 0
Acho que agora o próximo passo é mostrar que esse sistema é SPD?

O único plano é o que contém a figura.
Logo a questão de de Geometria Plana 2D (duas dimensões). Não existe eixo z.

O único plano é o que contém a figura.
Logo a questão é de Geometria Plana 2D (duas dimensões). Não existe eixo z.
Evidentemente, a minha solução indicada usa Geometria Analítica.

Somei eq i) e ii) e fiz o determinante do sistema. O det não anula. Seria isso?

Mostre o passo-a-passo da sua solução (e não apenas as equações das retas)

Eu não tenho muita habilidade com o LaTeX, mas foi exatamente isso que eu fiz. Pela imagem que você compartilhou fica bem fácil obter as equações das retas, com exceção apenas da altura, que ainda da algum trabalho. Pra isso é necessário obter, primeiramente, a equação da reta referente à hipotenusa do triangulo retângulo no primeiro quadrante e, a partir desta, extrair o vetor normal.
Calculada a normal da reta referente à hipotenusa, obtemos também a normal da reta referente à altura, uma vez que ambas são perpendiculares. Finalmente, sabendo a normal desta reta, obtemos também sua equação: y = bx/c. Por fim, ficamos com um sistema de 3 equações e duas incógnitas, x e y. Reduzindo à duas equações, escrevendo a matriz dos coeficientes e, em seguida, calculando o determinante, chegamos à conclusão de que o sistema é SPD, ou seja, deve haver um ponto (X,Y,Z) comum às três retas.

@Elcioschin Confirma?

Sim, este é o caminho: eu esqueci de orientar para calcular a equação da reta BC