Complexo

Uma das raízes da equação polinomial [latex]\left (Z ^{2}+2iZ-1 \right )^{2}=\left ( 2Z+1 \right )^{4}[/latex]




gAB:-1-i/3




alguém me salva nessa questão, provavelmente não estou vendo algo simples 

[latex]\left ( Z^2 + 2iZ - 1 \right )^2 = \left ( 2Z + 1 \right )^4[/latex]

[latex]\left ( Z^2 + 2iZ - 1 \right )^2 = \left ( 4Z^2 + 4Z + 1 \right )^2[/latex]

[latex]\left ( 4Z^2 + 4Z + 1 \right )^2 - \left ( Z^2 + 2iZ - 1 \right )^2 = 0[/latex]



*Sabe-se que A^2 - B^2 = (A + B)(A - B). Logo,

[latex]\left ( 5Z^2 + (4 +2i)Z \right )\cdot \left ( 3Z^2 + (4 - 2i)Z + 2 \right ) = 0[/latex]

*Com isso temos:



i)Primeiro caso:

[latex] 5Z^2 + (4 +2i)Z = 0[/latex]

Fazendo que:

[latex]Z_{1} = 0[/latex]

[latex]Z_{2} = -\frac{4+2i}{5}[/latex]



ii)Segundo caso:

[latex]3Z^2 + (4 - 2i)Z + 2 = 0[/latex]

[latex]\Delta = (4 - 2i)^2 - 4\cdot 3\cdot 2 = -12 -16i[/latex]

[latex]\Delta = (-2 + 4i)^2[/latex]

[latex]Z = \frac{-(4 - 2i) \pm (-2 + 4i)}{6} = \frac{(2i - 4) \pm (4i - 2)}{6}[/latex]


[latex]Z_{3} = \frac{(2i - 4) + (4i - 2)}{6} = \frac{6i - 6}{6} = i - 1[/latex]

[latex]Z_{4} = \frac{(2i - 4) - (4i - 2)}{6} = \frac{-2i - 2}{6} =\frac{ -i - 1}{3}[/latex]

*Uma das raizes é

[latex]Z = \frac{ -i - 1}{3}[/latex]

Muito bom !! Obrigado !!