Função 2º Fase Unicamp

Suponha que f: → seja uma função ímpar (isto é, f(–x) = – f(x)) e periódica, com período 10 (isto é, f(x) = f(x + 10)). O gráfico da função no intervalo [0, 5] é apresentado abaixo.

 a) Complete o gráfico, mostrando a função no intervalo [– 10, 10], e calcule o valor de f(99).



b) Dadas as funções g(y) = y^2 – 4y e h(x) = g(f(x)), calcule h(3) e determine a expressão de h(x) para 2,5 ≤ x ≤ 5.


Respostas:
a) gráfico; f(99)= -2
b) h(3) = 0 ; h(x)= 4x^2-32x+60

No intervalo [0, 10] temos um período completo. Este período se repete de 10 em 10
Logo, vai se repetir de 90 a 100, logo o triângulo entre 5 e 10 se repete entre 95 e 100

O gráfico entre 0 e 10 passa por A(10,0).
O coeficiente angular da reta que passa por A (10, 0) vale m = (- 5 - 0)/(0 - 5/2) ---> m = 2

Logo o gráfico passa pelo ponto B(100, 0)


Equação da reta que passa por e tem o mesmo valor m = 2:

y - 0 = 2.(x - 100) ---> y = 2.x - 200

Para x = 99 ---> y(99) = 2.199 - 200 ---> y(99) = - 2

Como f(x) = f(x + 10) [latex]\therefore[/latex]  [latex]f(9) = f(19) = f(29)...= f(89) = f(99)[/latex]


Portanto,f(99) = f(9)

Tendo como referência os pontos (15/2,-5) e (10,0),calcularemos a reta que passa por eles e calcularemos f(9).

Dado que m = [latex]\frac{\Delta y}{\Delta x}[/latex] => m = 0 - (-5)/(10 - 15/2) = 5/2,5 = 2

Como [latex]y - y_{0} = m(x - x_{0})[/latex] temos:

y - 0 = 2(x - 10)

y = 2x - 20

Para x = 9,temos y = 2x9 - 20 = -2 => f(99) = -2

b) h(3) = g(f(3))

idem letra a,faremos o mesmo processo para achar f(3),tendo como referência (5/2,5) e (5,0)

m = 0 - 5/5 - 5/2 => m = -5/2,5 => m = -2

y - 0 = (-2)(x - 5)
y = -2x + 10

Para x = 3 => y = 4 => h(3) = g(4)

g(4) = 4² - 4x4 => g(4) = 0 => h(3) = 0

Para [latex]5 \geq x \geq 2,5[/latex] a função f(x) obedece à reta y = -2x + 10

h(x) = g(-2x + 10)

g(-2x + 10) = (-2x + 10)² - 4(-2x + 10)

h(x) = g(-2x + 10) = 4x² - 32x + 60