Lei dos cossenos

por Tommy Miller Sáb 05 Dez 2020, 17:35

(UERJ) A figura 1 representa uma chapa de metal com a forma de um triângulo retângulo isósceles em que AB = BC = CD = 2 m. Dobrando-a nas linhas BE e CE, constrói-se um objeto que tem a forma de uma pirâmide.

Desprezando a espessura da chapa, calcule o cosseno do ângulo formado pela aresta AE e o plano ABC.

Resposta:

por **Elcioschin** Sáb 05 Dez 2020, 19:39

Uma figura para ajudar:

por Tommy Miller Dom 06 Dez 2020, 13:17

Elcioschin escreveu:Uma figura para ajudar:

Elcio, obrigado pela figura. Mas não sei como ela pode me ajudar a encontrar a resposta para o problema. Também não consegui aplicar a lei dos senos na primeira figura, pois não conheço lados nem ângulos suficientes. Até usei lei dos cossenos mas acho que b = √10 m e que a altura do triângulo EBC é 3 m. Poderia me ajudar?

por **Elcioschin** Dom 06 Dez 2020, 13:54

Pitágoras no triângulo retângulo AED:

AE² + DE² = AD² ---> a² + a² = 6² ---> a² = 18 ---> a = 3.√2 m

Lei dos senos no triângulo AEB:

AE/sen(135º - α) = AB/senα = BE/sen45º --->

a/(sen135º.cosα - cos135º.senα) = 2/senα = b/sen45º

Lei dos senos no triângulo BEC:

BE/sen(α + 45º) = BC/sen(90º - 2.α) ---> b/(senα.cos45º + cosα.cos45º) = 2/2.senα.cosα

Calculados b, α ---> na 2ª figura calcule EM

No triângulo AEM use lei dos cossenos e calcule cos(EÂM)

As contas são por sua conta.

por Tommy Miller Dom 06 Dez 2020, 14:24

Elcio, muito obrigado pelo seu desenho e pela sua explicação. infelizmente não consegui chegar no gabarito pela lei dos senos, mas cheguei no gabarito pela lei dos cossenos. Obrigado!

por **Elcioschin** Dom 06 Dez 2020, 14:31

Então poste o passo-a-passo da sua solução para que outros usuários aprendam contigo!

por Tommy Miller Dom 06 Dez 2020, 16:39

Elcioschin escreveu:Então poste o passo-a-passo da sua solução para que outros usuários aprendam contigo!

Considerando a sua figura, o triângulo AME é isósceles e tem base 3m e altura 3m, ou seja, o segmento EM tem 3m. O exercício pede o ângulo MÂE do triângulo MAE. Como sabemos seu 3 lados, AM= √3m, ME = 3m e AE = 3√2 , usando a lei dos cossenos descobrimos o cosseno do ângulo pedido.

por **Elcioschin** Dom 06 Dez 2020, 18:20

Não entendi

No triângulo AME --->

1) AM = √3

2) AE = a = 3.√2

3) ME é a altura do triângulo isósceles EBC (BE = CE = b)

Para calcular ME você precisa primeiro saber o valor de b
Como você sabe, então, que AME é isósceles?

por Tommy Miller Dom 06 Dez 2020, 18:46

Elcioschin escreveu:Não entendi

No triângulo AME --->

1) AM = √3

2) AE = a = 3.√2

3) ME é a altura do triângulo isósceles EBC (BE = CE = b)

Para calcular ME você precisa primeiro saber o valor de b
Como você sabe, então, que AME é isósceles?