Trigonometria

O ângulo θ ∈ [latex]\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}{ 44 }\right][/latex] tal que [latex]\dfrac{1+\tan^2(11\cdot\theta)}{1-\tan^2(11\cdot\theta)}=\sqrt{2}[/latex] é
[latex]\theta =\dfrac{a\pi}{b}[/latex], com a e b inteiros e [latex]\dfrac{a}{b}[/latex] irredutível. Encontre o valor de a+b.

para facilitar a resolução, adotarei x = 11θ
[latex]1+tan^{2}x = 1 + \frac{sen^{2}x}{cos^{2}x} = \frac{cos^{2}x + sen^{2}x}{cos^{2}x} = \frac{1}{cos^{2}x}[/latex]

[latex]1-tan^{2}x = 1 - \frac{sen^{2}x}{cos^{2}x} = \frac{cos^{2}x - sen^{2}x}{cos^{2}x} = \frac{cos(2x)}{cos^{2}x}[/latex]

[latex]\frac{1+tan^{2}x}{1-tan^{2}x} = \frac{\frac{1}{cos^{2}x}}{\frac{cos(2x)}{cos^{2}x}} = \frac{1}{cos(2x)}[/latex]

[latex]\therefore \frac{1}{cos(2x)} = \sqrt{2} \Rightarrow cos(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}[/latex]

portanto, 2x = π/4 --> x = π/8

11θ = π/8
θ = π/88

Resposta = 88+1 = 89

Se garante!