(UEPG PSS - 2016) Raízes
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(UEPG PSS - 2016) Raízes
por eivitordias Qui 08 Out 2020, 09:14
Sabendo que a soma dos inversos das raízes da equação x^4 – 4x^3 – 3x^2 + 2mx – m – 1= 0 vale 7/4, assinale o que for correto.
01) m é um número primo.
02) Todas as raízes são números naturais.
04) A soma dos quadrados das raízes é 22.
08) A equação tem uma raiz dupla.
01) m é um número primo.
02) Todas as raízes são números naturais.
04) A soma dos quadrados das raízes é 22.
08) A equação tem uma raiz dupla.
- resposta:
- 01+04+08
Última edição por eivitordias em Qui 08 Out 2020, 20:31, editado 1 vez(es)
eivitordias- Jedi
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Re: (UEPG PSS - 2016) Raízes
por Elcioschin Qui 08 Out 2020, 10:22
x4 - 4.x3 - 3.x2 + (2.m).x - m - 1 = 0
Sejam r, s, t, u as raízes. Aplicando as Relações de Girard:
r + s + t + u = 4 ---> I
r.s + r.t + r.u + s.t + s.u + t.u = - 3 ---> II
r.s.t + r.s.u + r.t.u + s.t.u = - 2.m ---> III
r.s.t.u = - m - 1 ---> IV
Do enunciado: 1/r + 1/s + 1/t + 1/u = 7/4
Efetue a soma no 1º membro, substitua por III e IV e calcule m
Depois calcule as raízes, usando o Teorema das raízes racionais
Aplique Briott-Ruffini para estas raízes: vai cair numa equação do 2º grau. Calcule as outras duas raízes.
Sejam r, s, t, u as raízes. Aplicando as Relações de Girard:
r + s + t + u = 4 ---> I
r.s + r.t + r.u + s.t + s.u + t.u = - 3 ---> II
r.s.t + r.s.u + r.t.u + s.t.u = - 2.m ---> III
r.s.t.u = - m - 1 ---> IV
Do enunciado: 1/r + 1/s + 1/t + 1/u = 7/4
Efetue a soma no 1º membro, substitua por III e IV e calcule m
Depois calcule as raízes, usando o Teorema das raízes racionais
Aplique Briott-Ruffini para estas raízes: vai cair numa equação do 2º grau. Calcule as outras duas raízes.
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: (UEPG PSS - 2016) Raízes
por eivitordias Qui 08 Out 2020, 20:30
01) CORRETO
A soma dos inversos das raízes, ao realizar o MMC, é igual a:
-2m/-m-1 = 7/4
m=7
02) FALSO
Encontramos, por meio do teorema das raízes racionais, 1 e -2.
Utilizando Briott-Ruffini, reduzimos o polinômio para o segundo grau:
x²-5x+4=0
Por soma e produto, encontramos as raízes restantes: 1 e 4.
04) CORRETO
(-2)²+1²+1²+4² = 22
08) CORRETO
Raízes: {-2,1,1,4}
Por fim, grato ao mestre Elcio pelo auxílio na questão.
Abraço!
A soma dos inversos das raízes, ao realizar o MMC, é igual a:
-2m/-m-1 = 7/4
m=7
02) FALSO
Encontramos, por meio do teorema das raízes racionais, 1 e -2.
Utilizando Briott-Ruffini, reduzimos o polinômio para o segundo grau:
x²-5x+4=0
Por soma e produto, encontramos as raízes restantes: 1 e 4.
04) CORRETO
(-2)²+1²+1²+4² = 22
08) CORRETO
Raízes: {-2,1,1,4}
Por fim, grato ao mestre Elcio pelo auxílio na questão.
Abraço!
eivitordias- Jedi
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