Limite

por felp22 Seg 04 maio 2020, 14:08

Calcular o limite a seguir:

O gabarito diz que é 1/4, mas sempre acho 0.

por **Elcioschin** Seg 04 maio 2020, 15:56

Então mostre o passo-a-passo da sua solução, para ser analisada.

por felp22 Seg 04 maio 2020, 16:06

encontrei o erro, o problema está digitado errado.
Era pra ser x^3 no denominador.
obrigado.

por **Elcioschin** Seg 04 maio 2020, 22:38

Então mostre o passo-a-passo da sua solução para que outros usuários do fórum aprendam.

por **Giovana Martins** Qua 06 maio 2020, 01:47

Não consegui fazer usando só limites. Tentei por Séries de Maclaurin e chegou no resultado. Felp, caso você tenha resolvido usando só limites, poste a resolução. Fiquei curiosa Razz

.

\\\mathrm{tg(x)\approx x+\frac{1}{3}x^3 \ \therefore \ 1+tg(x)\approx 1+x+\frac{1}{3}x^3 }\\\\\mathrm{sen(x)\approx x-\frac{1}{6}x^3\ \therefore \ 1+sen(x)\approx 1+x-\frac{1}{6}x^3}\\\\\mathrm{\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+tg(x)}-\sqrt{1+sen(x)}}{x^3}}= \mathrm{\lim_{x\to 0}\frac{tg(x)-sen(x)}{x^3\left [ \sqrt{1+tg(x)}+\sqrt{1+sen(x)} \right ]}}\\\\\mathrm{\lim_{x\to 0}\frac{1+x+\frac{1}{3}x^3-1-x+\frac{1}{6}x^3}{x^3\left ( \sqrt{1+x+\frac{1}{3}x^3}+\sqrt{1+x-\frac{1}{6}x^3} \right )}=\boxed {\frac{1}{4}}}

Nota: eu interrompi a série na segunda parcela pois se fôssemos adiante as demais parcelas iriam tender a 0 quando x tendesse a 0.

por **Kayo Emanuel Salvino** Qua 06 maio 2020, 11:26

Olha lá no WolframAlpha: https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28%28sqrt%281%2Btg%28x%29%29-sqrt%281%2Bsen%28x%29%29%29%2F%28x%C2%B2%29+as+x-%3E0

Deu zero e agora ?

por **Giovana Martins** Qua 06 maio 2020, 13:22

Kayo, o denominador é x³ ao invés de x². É que o colega felp se enganou. Veja a mensagem dele acima. Se você colocar o x³ o Wolfram também apontará 1/4.

por **Kayo Emanuel Salvino** Qua 06 maio 2020, 13:45

Ah sim,descuido meu hehe.Obrigado,Giovana!

Normalmente,esses limites são bem complicados de encontrar o valor usando somente os limites fundamentais e/ou álgebra.

por **Giovana Martins** Qua 06 maio 2020, 14:47

Pois é. Eu não tentei fazer por L'Hôpital mas acho que até por esse método daria muito trabalho.

por felp22 Dom 17 maio 2020, 20:54

Giovana Martins escreveu:
Não consegui fazer usando só limites. Tentei por Séries de Maclaurin e chegou no resultado. Felp, caso você tenha resolvido usando só limites, poste a resolução. Fiquei curiosa .

\\\mathrm{tg(x)\approx x+\frac{1}{3}x^3 \ \therefore \ 1+tg(x)\approx 1+x+\frac{1}{3}x^3 }\\\\\mathrm{sen(x)\approx x-\frac{1}{6}x^3\ \therefore \ 1+sen(x)\approx 1+x-\frac{1}{6}x^3}\\\\\mathrm{\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+tg(x)}-\sqrt{1+sen(x)}}{x^3}}= \mathrm{\lim_{x\to 0}\frac{tg(x)-sen(x)}{x^3\left [ \sqrt{1+tg(x)}+\sqrt{1+sen(x)} \right ]}}\\\\\mathrm{\lim_{x\to 0}\frac{1+x+\frac{1}{3}x^3-1-x+\frac{1}{6}x^3}{x^3\left ( \sqrt{1+x+\frac{1}{3}x^3}+\sqrt{1+x-\frac{1}{6}x^3} \right )}=\boxed {\frac{1}{4}}}

Nota: eu interrompi a série na segunda parcela pois se fôssemos adiante as demais parcelas iriam tender a 0 quando x tendesse a 0.

Peço perdão, não vi as mensagens do forum, mas vou anexar a resolução com apenas limites fundamentais e manipulação algébrica. Como não entendo de latex, vai aí uma folha escaneada: https://1drv.ms/b/s!AjO1aTNLUdB6ogEsTeT2zJeR7zdf?e=MAeJqS

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Resolução com limites fundamentais

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